2009-安徽卷理-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 在 $\Delta ABC$ 中，已知 $a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，且 $\sqrt{3}a\sin C=c\cos A$.

(1) 求角 $A$ 的大小；

(2) 若 $a=\sqrt{3}$，求 $b+c$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用正弦定理将已知等式中的边 $a,c$ 转化为对应的正弦值 $\sin A,\sin C$，约去公因式后求出 $\tan A$，进而确定角 $A$。
2. 第二问：

• 方法一（三角法）：将 $b,c$ 用正弦定理表示为关于角 $B$ 的三角函数式，化简为单一名义正弦函数，利用其有界性求最大值。
• 方法二（代数法）：利用余弦定理列出关于 $b,c$ 的方程，结合基本不等式 $bc⩽\frac{(b+c{)}^2}{4}$ 建立关于 $b+c$ 的不等式求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $\sqrt{3}a\sin C=c\cos A$， 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 可得 $a=2R\sin A,c=2R\sin C$。 代入原式得： $\sqrt{3}\cdot 2R\sin A\sin C=2R\sin C\cos A$ 因为 $C$ 是 $\Delta ABC$ 的内角，所以 $\sin C\ne 0$，两边同除以 $2R\sin C$ 得： $\sqrt{3}\sin A=\cos A⟹\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 又因为 $A\in (0,\pi )$， 所以 $A=\frac{\pi }{6}$。

(2) 方法一（三角变换法）： 由 (1) 知 $A=\frac{\pi }{6}$，则 $B+C=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}⟹C=\frac{5\pi }{6}-B$。 由于 $a=\sqrt{3}$，由正弦定理得： $\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi }{6}}=2\sqrt{3}$ 则 $b=2\sqrt{3}\sin B$， $c=2\sqrt{3}\sin C=2\sqrt{3}\sin \left(\frac{5\pi }{6}-B\right)$。 $b+c=2\sqrt{3}\left[\sin B+\sin \left(\frac{5\pi }{6}-B\right)\right]$ 利用和差化积公式变形： $b+c=2\sqrt{3}\cdot 2\sin \frac{B+\left(\frac{5\pi }{6}-B\right)}{2}\cos \frac{B-\left(\frac{5\pi }{6}-B\right)}{2}$ $b+c=4\sqrt{3}\sin \frac{5\pi }{12}\cos \left(B-\frac{5\pi }{12}\right)$ 因为 $B\in \left(0,\frac{5\pi }{6}\right)$，所以当 $B=\frac{5\pi }{12}$ 时， $\cos \left(B-\frac{5\pi }{12}\right)$ 取得最大值 1。 此时 $b+c$ 取得最大值： $(b+c{)}_{\max }=4\sqrt{3}\sin \frac{5\pi }{12}=4\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}\right)$ $=4\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}\right)=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$

方法二（代数放缩法）： 由余弦定理得： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。 代入 $a=\sqrt{3},A=\frac{\pi }{6}$ 得： $3=b^2+c^2-2bc\cos \frac{\pi }{6}⟹3=(b+c{)}^2-2bc-\sqrt{3}bc⟹3=(b+c{)}^2-(2+\sqrt{3})bc$ 根据基本不等式，恒有 $bc⩽\frac{(b+c{)}^2}{4}$，代入上式得： $3⩾(b+c{)}^2-(2+\sqrt{3})\cdot \frac{(b+c{)}^2}{4}=(b+c{)}^2\cdot \left(1-\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{2-\sqrt{3}}{4}(b+c{)}^2$ 整理得： $(b+c{)}^2⩽\frac{12}{2-\sqrt{3}}=12(2+\sqrt{3})=24+12\sqrt{3}$ 因为 $(3\sqrt{2}+\sqrt{6}{)}^2=18+6+2\sqrt{108}=24+12\sqrt{3}$， 所以 $b+c⩽3\sqrt{2}+\sqrt{6}$。 当且仅当 $b=c$（即 $\Delta ABC$ 为等腰三角形）时等号成立。 故 $b+c$ 的最大值为 $3\sqrt{2}+\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的边角转换；两角和的正弦公式与特殊角求值；余弦定理与代数基本不等式的联合放缩。
2. 核心方法：

• 变角化归法（将多角多边化归为单角单名三角函数）。
• 极值均值不等式法。

3. 避坑指南：第一问化简出 $\sqrt{3}\sin A=\cos A$ 后，需明确说明 $\sin C\ne 0$ 的逻辑前提。第二问计算 $\sin \frac{5\pi }{12}$ 时易出现计算错误，建议将其拆分为 $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}$ 运用两角和公式精确推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材解三角形大题的经典题型，将三角恒等变换与代数不等式最值相融合。
2. 结论推广：在 $\Delta ABC$ 中，若已知角 $A$ 和对边 $a$ 恒定，则当且仅当 $B=C$ 时，其余两边之和 $b+c$ 取得最大值，最大值为 $\frac{a}{\sin A}\cdot 2\sin \frac{\pi -A}{2}=2a\cos \frac{A}{2}/\sin A$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形