2009-江西卷理-03 单-集合

本题导读

本题考查集合的交、并、补运算，核心在于利用德·摩根定律简化集合表达式，结合集合元素个数的关系进行求解。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 已知全集 $U=A\cup B$ 中有 $m$ 个元素，$({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$ 中有 $n$ 个元素. 若 $A\cap B$ 非空，则 $A\cap B$ 的元素个数为 ()

A. $mn$　　　　　B. $m+n$　　　　　C. $n-m$　　　　　D. $m-n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用德·摩根定律将 $({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$ 转化为交集的补集。
2. 根据全集元素总数与补集元素个数的关系计算原集合的元素个数。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

根据德·摩根定律，有 $({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cap B)$。 已知 ${\complement }_U(A\cap B)$ 中有 $n$ 个元素，而全集 $U$ 中共有 $m$ 个元素。 所以 $A\cap B$ 的元素个数为全集元素数减去其补集的元素数，即 $m-n$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的补集运算，德·摩根定律。
2. 核心方法：公式转换与基本计数原理。
3. 避坑指南：熟记 ${\complement }_U(A\cap B)=({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$，避免符号混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合基本运算法则的直接应用题。
2. 结论推广: 韦恩图与德·摩根定律是处理复杂集合运算问题的两大核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷理-02 填-集合
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间