2009-辽宁卷文-08 单-同角三角齐次式

本题导读

考查齐次式。分子分母同除 ${\cos }^2\theta$，原式 $=\frac{{\tan }^2\theta +\tan \theta -2}{{\tan }^2\theta +1}=\frac{4+2-2}{5}=\frac{4}{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 已知 $\tan \theta =2$，则 ${\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta -2{\cos }^2\theta =$ ()

A. $-\frac{4}{3}$　　　　　　B. $\frac{5}{4}$　　　　　　C. $-\frac{3}{4}$　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 齐次式，分母配 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$。
2. 弦化切：$\frac{{\tan }^2\theta +\tan \theta -2}{{\tan }^2\theta +1}=\frac{4+2-2}{4+1}=\frac{4}{5}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=\frac{{\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta -2{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }$，分子分母同除以 ${\cos }^2\theta$： $=\frac{{\tan }^2\theta +\tan \theta -2}{{\tan }^2\theta +1}=\frac{2^2+2-2}{2^2+1}=\frac{4}{5}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的基本关系

核心方法：弦化切（齐次式除以 ${\cos }^2\theta$）

避坑指南：齐次式要自己补分母 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$；$\tan \theta =2$ 代入后分子 $4+2-2$，中间项系数是 $+1$ 不是 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：齐次式弦化切是三角求值的通用套路。

结论推广：$\frac{a{\sin }^2+b\sin \cos +c{\cos }^2}{{\sin }^2+{\cos }^2}=\frac{a{\tan }^2+b\tan +c}{{\tan }^2+1}$。

方法推广：分母按 ${\tan }^2\theta +1=5$ 计入，别只算分子忘除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-09 填-同角三角求值
• 2011-重庆卷文-12 填-同角三角求值
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值