2009-北京卷文-09 填-同角三角求值

本题导读

考查同角关系。$\sin \theta <0$ 且 $\tan \theta >0$ 知 $\theta$ 在第三象限，$\cos \theta <0$，值 $-\frac{3}{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 若 $\sin \theta =-\frac{4}{5}$，$\tan \theta >0$，则 $\cos \theta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\sin \theta <0$、$\tan \theta >0\Rightarrow \theta$ 为第三象限角，$\cos \theta <0$。
2. ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$。

✅【答案】

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$-\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \theta =-\frac{4}{5}<0$、$\tan \theta >0$，知 $\theta$ 是第三象限角，故 $\cos \theta <0$。 $\cos \theta =-\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的基本关系

核心方法：象限定符号 + 平方关系

避坑指南：$\sin \theta <0$ 且 $\tan \theta >0$ 锁定第三象限，$\cos \theta$ 取负号；漏判象限会错成 $\frac{3}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角关系求值是三角模块第一类基础题。

结论推广：${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$；$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$。

方法推广：两个三角函数值的符号共同确定象限，再决定开方取正还是取负。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2011-重庆卷文-12 填-同角三角求值
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值