2009-辽宁卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形在实际测量中的应用。核心在于结合图形中的仰角关系，将空间中的垂直面问题投影至同一平面进行多三角形联动，通过正弦定理求解未知边，并借助余弦定理完成最终距离的计算。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 如图，$A,B,C,D$ 都在同一个与水平面垂直的平面内，$B,D$ 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 $A$ 处测得 $B$ 点和 $D$ 点的仰角分别为 $75^{\circ }$，$30^{\circ }$，于水面 $C$ 处测得 $B$ 点和 $D$ 点的仰角均为 $60^{\circ }$，$AC=0.1\text{ km}$. 试探究图中 $B,D$ 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 $B,D$ 的距离. (计算结果精确到 $0.01\text{ km}$，$\sqrt{2}\approx 1.414$，$\sqrt{6}\approx 2.449$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据仰角和图形中的几何关系，算出各三角形内部的角。在 $△ABC$ 中，利用正弦定理求出 $AB$ ；在 $△ADC$ 中，求出 $AD$ ；
2. 比较线段长度，通过计算发现 $AB=AD$ 这一几何特征。
3. 结合已知角度，在 $△ABD$ 中应用余弦定理计算 $BD$ 的距离。

✅【答案】

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𝐵𝐷=𝐵𝐴，且𝐵𝐷≈0.33km.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中： 由题意知，$\angle BAC=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$， $\angle BCA=60^{\circ }$。 则 $\angle ABC=180^{\circ }-(105^{\circ }+60^{\circ })=15^{\circ }$。 由正弦定理 $\frac{AB}{\sin \angle BCA}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$，得： $AB=\frac{AC\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=\frac{0.1\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{0.2\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{0.2\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}\text{ km}$。

在 $△ADC$ 中： 由题意知，$\angle DAC=30^{\circ }$， $\angle DCA=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。 则 $\angle ADC=180^{\circ }-(30^{\circ }+120^{\circ })=30^{\circ }$。 所以 $△ADC$ 为等腰三角形，故 $CD=AC=0.1\text{ km}$。 由正弦定理 $\frac{AD}{\sin \angle DCA}=\frac{AC}{\sin \angle ADC}$，得： $AD=\frac{AC\cdot \sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{0.1\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=0.1\sqrt{3}\text{ km}$。

在 $△BDC$ 中： 由题意知，$\angle BCD=180^{\circ }-\angle BCA-\angle DC\text{ (水平线)}=180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$。 又在 $△ABC$ 和 $△ADC$ 中已求得： $BC=\frac{AC\cdot \sin 105^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=\frac{0.1\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=0.1\times (2+\sqrt{3})\text{ km}$， $CD=0.1\text{ km}$。 而在 $△BCD$ 中，由余弦定理： $B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2BC\cdot CD\cos \angle BCD$ $=0.01(2+\sqrt{3}{)}^2+0.01-2\times 0.01(2+\sqrt{3})\times \frac{1}{2}$ $=0.01(7+4\sqrt{3})+0.01-0.01(2+\sqrt{3})$ $=0.01(6+3\sqrt{3}){\text{ km}}^2$。 计算可知 $BD=\sqrt{0.01(6+3\sqrt{3})}=0.1\sqrt{6+3\sqrt{3}}\text{ km}$。

观察各线段长度： 因为 $\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC=105^{\circ }-30^{\circ }=75^{\circ }$。 在 $△ABD$ 中，已知 $AB=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}$，$AD=0.1\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{10}$。 由于： $A{B}^2={\left(\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}\right)}^2=\frac{18+6+12\sqrt{3}}{400}=\frac{6+3\sqrt{3}}{100}=0.01(6+3\sqrt{3})$。 所以 $AB=0.1\sqrt{6+3\sqrt{3}}\text{ km}$。 因此，得到 $BD=AB$。 即图中 $B,D$ 间的距离与 $A,B$ 两点间的距离相等。

(2) 由 (1) 知，$BD=AB=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}\text{ km}$。 代入近似值计算： $BD\approx \frac{3\times 1.414+2.449}{20}=\frac{4.242+2.449}{20}=\frac{6.691}{20}\approx 0.33\text{ km}$。 答：$B,D$ 间的距离与 $A,B$ 间的距离相等，且 $B,D$ 的距离约为 $0.33\text{ km}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理与余弦定理的实际测量应用，三角恒等变换（求 $\sin 15^{\circ }$ 等）。
2. 核心方法：多三角形联动边长转化，利用代数展开精确比较线段长度。
3. 避坑指南：计算 $AB$ 时分母含有双重根号，极易算错。建议保留平方值 $A{B}^2$ 与 $B{D}^2$ 进行直接对比，避免开方引入的繁琐代数变形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 典型的高考实际测量问题，源自于古典航海定位中的“双坐标定位”几何原理。
2. 结论推广: 多三角形联合解法中，若能证明其中两边相等（如等腰三角形或隐藏全等/相似），利用对称性可大幅缩减余弦定理的代数计算量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形