2010-北京卷文-13 填-双曲线焦点与渐近线

本题导读

考查双曲线基本量。焦点 $(\pm 4,0)$；$a=2$，$b=2\sqrt{3}$，渐近线 $y=\pm \sqrt{3}x$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的离心率为 $2$，焦点与椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 $\underline{}$；渐近线方程为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 椭圆 $c=\sqrt{25-9}=4$，焦点 $(\pm 4,0)$。
2. 双曲线 $c=4$，$e=\frac{c}{a}=2\Rightarrow a=2$。
3. $b^2=16-4=12$，$b=2\sqrt{3}$。
4. 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \sqrt{3}x$。

✅【答案】

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焦点坐标为 $(4,0)$，$(-4,0)$；渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{3}x$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 中 $c^2=25-9=16$，焦点为 $(\pm 4,0)$， 此即双曲线的焦点，故双曲线 $c=4$。 由离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，得 $a=2$， $b^2=c^2-a^2=16-4=12,b=2\sqrt{3}.$ 所以双曲线的焦点坐标为 $(4,0)$，$(-4,0)$； 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \sqrt{3}x.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的基本量与渐近线

核心方法：焦点定 $c$、离心率定 $a$、$b^2=c^2-a^2$、斜率 $\pm \frac{b}{a}$

避坑指南：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$（$c$ 最大），与椭圆的 $a^2=b^2+c^2$（$a$ 最大）相反，混用是全错之源。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

结论推广：椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的 $c=\sqrt{25-9}=4$，先求出再迁移。

方法推广：离心率 $e=\frac{c}{a}$ 把 $a,c$ 绑定，$b$ 随之确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-13 填-双曲线离心率
• 2009-福建卷文-04 单-双曲线离心率
• 2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线