2010-大纲卷I文-03 单-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。$z=x-2y$ 在三顶点取 $-3$、$1$、$3$，最大值 $3$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y⩽1,\\ x+y⩾0,\\ x-y-2⩽0,\end{array}$ 则 $z=x-2y$ 的最大值为()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=1$ 与 $x+y=0$ 交于 $(-1,1)$；$y=1$ 与 $x-y-2=0$ 交于 $(3,1)$。
2. $x+y=0$ 与 $x-y-2=0$ 交于 $(1,-1)$。
3. $z$ 值依次为 $-3$、$1$、$3$，最大 $3$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

可行域是由三条直线围成的三角形，三个顶点为 $(-1,1)$、$(3,1)$、$(1,-1)$。 目标函数 $z=x-2y$ 在三顶点处的值分别为 $-3$、$1$、$3$， 故最大值为 $3$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性目标函数的最值

核心方法：画可行域、求顶点、代入比较

避坑指南：三条边界两两联立求交点，$z=x-2y$ 中 $y$ 的系数为负，最大值在 $y$ 最小的顶点取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性函数在凸多边形可行域上的最值必在顶点处取得。

结论推广：平移直线 $x-2y=z$：$z$ 越大直线越靠下，几何意义辅助定向。

方法推广：顶点坐标求错则全盘皆错，联立解方程组要回代检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

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• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划
• 2009-陕西卷文-14 填-线性规划最值
• 2012-安徽卷文-08 单-线性规划最值