2012-安徽卷文-08 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性规划求最值。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 若 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ x+2y⩾3,\\ 2x+y⩽3,\end{array}$ 则 $z=x-y$ 的最小值是()

A. $-3$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

可行域顶点处 $z$ 值：$z(0,3)=-3$、$z(0,\frac{3}{2})=-\frac{3}{2}$、$z(1,1)=0$，最小值 $-3$，选 A。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

三条边界：$x=0$（$y$ 轴）、$x+2y=3$、$2x+y=3$。

可行域顶点：$x=0$ 与 $x+2y=3$ 交于 $\left(0,\frac{3}{2}\right)$；$x=0$ 与 $2x+y=3$ 交于 $(0,3)$；$x+2y=3$ 与 $2x+y=3$ 交于 $(1,1)$。

直线 $x+2y=3$ 与 $2x+y=3$ 之间、$y$ 轴右侧的区域满足全部约束，顶点为上述三点。

$z=x-y$ 在顶点处的值：$z\left(0,\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2}$，$z(0,3)=-3$，$z(1,1)=0$。

故最小值为 $-3$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域的画法（三线围成的三角形）；目标函数在顶点取最值

核心方法：求三边界两两交点得顶点，代入 $z=x-y$ 比较三个值

避坑指南：$x+2y⩾3$ 与 $2x+y⩽3$ 的不等号方向相反，可行域在两直线之间，误画成同侧会得到空集或错误顶点；$z$ 的最小值在 $(0,3)$ 处，“最小”对应 $y$ 最大、$x$ 最小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值题，与 2012 年辽宁卷文第 9 题、2012 年四川卷文第 8 题同族。

结论推广：$z=x-y$ 的等值线斜率为 $1$，沿 $y$ 增大方向 $z$ 减小；顶点处取最值的前提是可行域为有界凸多边形（或边界射线端点）。

方法推广：线性规划流程：画线 → 定域（试原点）→ 求顶点 → 代值比较；目标函数含两变量时也可平移等值线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-09 单-线性规划最值
• 2012-四川卷文-08 单-线性规划最值
• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划