2011-安徽卷文-17 解-两直线相交与椭圆轨迹

本题导读

本题考查两条直线相交的条件，以及方程组的解。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 设直线 $l_1:y=k_{1}x+1$，$l_2:y=k_{2}x-1$，其中实数 $k_1$，$k_2$ 满足 $k_1{k}_2+2=0$.

(1)证明 $l_1$ 与 $l_2$ 相交；

(2)证明 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点在椭圆 $2x^2+y^2=1$ 上.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 由 $k_1{k}_2=-2$ 得 $k_1\ne k_2$
2. 步骤2：联立方程有唯一解
3. 步骤3：(2) 设交点 $P(x,y)$
4. 步骤4：两直线方程改写后相乘消去 $k_1$

✅【答案】

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(1)$k_1{k}_2=-2\Rightarrow k_1\ne k_2$，联立方程组有唯一解，两直线相交

(2)交点 $P(x,y)$ 满足 $y^2-1=k_1{k}_2{x}^2=-2x^2$，即 $2x^2+y^2=1$，在椭圆上

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $k_1{k}_2+2=0$ 得 $k_1{k}_2=-2<0$，所以 $k_1\ne k_2$。

若 $l_1$ 与 $l_2$ 不相交，则它们平行或重合，需 $k_1=k_2$，矛盾。故 $l_1$ 与 $l_2$ 相交。

（也可直接联立：$k_{1}x+1=k_{2}x-1$，即 $(k_1-k_2)x=-2$，由 $k_1-k_2\ne 0$ 有唯一实数解，再回代任一直线得唯一 $y$。）

（2） 设交点为 $P(x,y)$。由 $P\in l_1$ 得 $y-1=k_{1}x$；由 $P\in l_2$ 得 $y+1=k_{2}x$。

两式相乘：$(y-1)(y+1)=k_1{k}_2{x}^2$，即 $y^2-1=-2x^2$。

整理得 $2x^2+y^2=1$，故交点 $P$ 在椭圆 $2x^2+y^2=1$ 上。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$k_1=k_2$ 是两直线平行或重合的充要条件；交点坐标同时满足两方程；乘法消参（$(y-1)(y+1)=y^2-1$）

核心方法：“证明相交”即证 $k_1\ne k_2$；“交点在曲线上”不必解出交点，把两条直线方程相乘、用 $k_1{k}_2=-2$ 消参即得曲线方程

避坑指南：(1) 的反面是”平行或重合”两种情形，两者都要求 $k_1=k_2$，所以否定 $k_1=k_2$ 一次即可；(2) 中两式相乘后左端恰好是平方差 $y^2-1$，不要试图先解出 $x$，$y$（含参数表达式复杂且易错）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与椭圆证明题与 2011-北京卷文-19、2011-天津卷文-18、1977-北京理-10 同族。

结论推广：推广：过定点 $A(0,1)$、$B(0,-1)$ 的两条直线斜率之积为定值 $-\frac{1}{2}$ 时，交点轨迹为椭圆 $2x^2+y^2=1$（不含 $A$，$B$）；一般地，$\frac{k_1{k}_2}{}$ 为定值 $-\frac{b^2}{a^2}$ 对应椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，这是”斜率积定轨迹”模型。

方法推广：含参直线交点问题：优先”设而不求、相乘消参”；证明位置关系时用斜率的代数刻画，避免画图说理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2011-天津卷文-18 解-椭圆离心率与弦长
• 1977-北京理-10