2010-新课标卷理-16 填-解三角形

本题导读

考查解三角形中的面积公式与余弦定理的综合运用。通过图形拆分、利用邻补角求出三角形各边长，最终求得内角大小。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 上一点，$BD=\frac{1}{2}DC$，$\angle ADB=120^{\circ }$，$AD=2$，若 $△ADC$ 的面积为 $3-\sqrt{3}$，则 $\angle BAC=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\angle ADB=120^{\circ }$ 得其邻补角 $\angle ADC=60^{\circ }$。
2. 利用 $S_{△ADC}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC\cdot \sin \angle ADC$ 求出 $DC$，进而得出 $BD$ 和 $BC$。
3. 在 $△ADC$ 中利用余弦定理求出 $AC$；在 $△ADB$ 中利用余弦定理求出 $AB$。
4. 在 $△ABC$ 中利用余弦定理或正弦定理求出 $\angle BAC$。

✅【答案】

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$60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

步骤一：求线段 $DC$ 与 $BD$ 的长度 因为 $\angle ADB=120^{\circ }$，所以 $\angle ADC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。

在 $△ADC$ 中，由面积公式： $S_{△ADC}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC\cdot \sin 60^{\circ }=3-\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot DC\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3-\sqrt{3}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}DC=3-\sqrt{3}$ $DC=\frac{2(3-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-2$

因为 $BD=\frac{1}{2}DC$，所以： $BD=\sqrt{3}-1$

步骤二：在 $△ADC$ 和 $△ADB$ 中求 $AC$ 与 $AB$ 在 $△ADC$ 中，由余弦定理： $A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot \cos 60^{\circ }$ $A{C}^2=2^2+(2\sqrt{3}-2{)}^2-2\cdot 2\cdot (2\sqrt{3}-2)\cdot \frac{1}{2}$ $A{C}^2=4+(12-8\sqrt{3}+4)-(4\sqrt{3}-4)=24-12\sqrt{3}$

在 $△ADB$ 中，由余弦定理： $A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot \cos 120^{\circ }$ $A{B}^2=2^2+(\sqrt{3}-1{)}^2-2\cdot 2\cdot (\sqrt{3}-1)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $A{B}^2=4+(3-2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-2)=6$ 故 $AB=\sqrt{6}$。

步骤三：计算 $BC$ 的长度 $BC=BD+DC=(\sqrt{3}-1)+(2\sqrt{3}-2)=3\sqrt{3}-3$ $B{C}^2=(3\sqrt{3}-3{)}^2=27-18\sqrt{3}+9=36-18\sqrt{3}$

步骤四：在 $△ABC$ 中求 $\cos \angle BAC$ 由余弦定理： $\cos \angle BAC=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}$

分子部分为： $A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2=6+(24-12\sqrt{3})-(36-18\sqrt{3})=6\sqrt{3}-6$

分母部分为： $2\cdot AB\cdot AC=2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{24-12\sqrt{3}}=2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{6(4-2\sqrt{3})}=12\sqrt{(\sqrt{3}-1{)}^2}=12(\sqrt{3}-1)$

代入计算斜率/余弦： $\cos \angle BAC=\frac{6\sqrt{3}-6}{12(\sqrt{3}-1)}=\frac{6(\sqrt{3}-1)}{12(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{2}$

因为 $0^{\circ }<\angle BAC<180^{\circ }$，所以： $\angle BAC=60^{\circ }\left(\text{或 }\frac{\pi }{3}\right)$

故答案为：$60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理与面积公式在分割三角形中的综合计算。
2. 核心方法：利用补角关系求边长 $\to$ 分步解两个小三角形 $\to$ 整体计算主角余弦。
3. 避坑指南：化简双重二次根号 $\sqrt{24-12\sqrt{3}}=\sqrt{6}\cdot \sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)$ 是计算的关键突破点，化简需稳重准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形压轴填空题，考查较为繁琐的代数式变形与根式化简能力。
2. 结论推广：在有中线或比例底边的三角形结构中，应用余弦定理或向量数量积（结合邻补角余弦值互为相反数）可简化计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形