2010-江苏卷-23 解-有理数与归纳证明

本题导读

考查证明与归纳。（1）$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 是有理数；（2）递推式两端有理运算封闭，归纳即得。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 已知 $△ABC$ 的三边长都是有理数.

(1)求证：$\cos A$ 是有理数；

(2)求证：对任意正整数 $n$，$\cos nA$ 是有理数.

🔍【思路分析】

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1. （1）余弦定理把 $\cos A$ 表为三边的有理运算。
2. （2）$n=1,2$ 奠基；递推 $\cos (k+1)A=2\cos A\cos kA-\cos (k-1)A$。
3. 有理数对四则运算封闭，归纳成立。

✅【答案】

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证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设三边长为 $a,b,c$。由余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$ 因为 $a,b,c$ 均为有理数，且 $b,c>0$，分子分母都是有理数且分母不为零； 有理数对加、减、乘、除（除数不为零）封闭，故 $\cos A$ 是有理数。 （2）记 $r=\cos A$，由（1）知 $r$ 是有理数。 当 $n=1$ 时，$\cos A=r$ 是有理数； 当 $n=2$ 时，$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=2r^2-1$ 也是有理数。 对任意整数 $k⩾2$，由余弦的和差公式： $2\cos A\cos kA=\cos (k+1)A+\cos (k-1)A,$ 即 $\cos (k+1)A=2\cos A\cos kA-\cos (k-1)A=2r\cos kA-\cos (k-1)A.$ 假设 $\cos (k-1)A$ 与 $\cos kA$ 都是有理数，则由有理数的封闭性，$\cos (k+1)A$ 也是有理数。 由数学归纳法，对任意正整数 $n$，$\cos nA$ 都是有理数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理与数学归纳法

核心方法：有理数四则运算封闭；积化和差构造二阶递推

避坑指南：归纳奠基要验 $n=1$ 与 $n=2$ 两项（递推是二阶的）；$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$ 中 ${\cos }^{2}A$ 是有理数的平方仍是有理数，封闭性逐步引用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：有理数域对加减乘除（除数非零）封闭，是本题全部推理的逻辑基础。

结论推广：$2\cos A\cos kA=\cos (k+1)A+\cos (k-1)A$ 把倍角问题化为线性递推。

方法推广：二阶递推的归纳法：验前两项，假设相邻两项，推下一项。

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