2011-安徽卷文-01 单-复数纯虚数定参

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及纯虚数的概念。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 设 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，复数 $\frac{1+a\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分母实数化：分子分母同乘 $(2+\mathrm{i})$
2. 步骤2：令实部为零、虚部非零

✅【答案】

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A$a=2$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1+a\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}=\frac{(1+a\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}{(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}=\frac{(2-a)+(1+2a)\mathrm{i}}{5}$。

复数为纯虚数：实部为零且虚部不为零，即 $2-a=0$ 且 $1+2a=5\ne 0$。

故 $a=2$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（分母实数化）；纯虚数 $⟺$ 实部为零且虚部不为零

核心方法：乘共轭 $(2+\mathrm{i})$ 化为 $x+y\mathrm{i}$ 标准形，再令实部 $=0$ 并回代检验虚部

避坑指南：“纯虚数”是两个条件：实部为零且虚部不为零——只令 $2-a=0$ 不回代，就可能漏掉 $1+2a=0$ 这类增根；分母 $(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=5$ 是实数，这一步不能省。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数纯虚数题与 2013-安徽卷文-01、2012-陕西卷文-04、2013-上海卷文-03 同族。

结论推广：推广：$\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}$ 乘共轭后实部 $\frac{ac+bd}{c^2+d^2}$、虚部 $\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$；“纯虚数/实数/虚数”判定题一律先标准化再回代验证两个条件。

方法推广：复数小题固定流程：分母实数化 $\to$ 写成 $x+y\mathrm{i}$ $\to$ 按概念列条件 $\to$ 回代检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-01 单-复数纯虚数
• 2012-陕西卷文-04 单-复数纯虚数与充要条件
• 2013-上海卷文-03 填-纯虚数