2012-陕西卷文-04 单-复数纯虚数与充要条件

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 设 $a$，$b\in \mathbf{R}$，$\mathrm{i}$ 是虚数单位，则"$ab=0$"是”复数 $a+\frac{b}{\mathrm{i}}$ 为纯虚数”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

$a+\frac{b}{i}=a-b\mathrm{i}$ 为纯虚数 $\Rightarrow a=0\Rightarrow ab=0$（必要性成立）；而 $ab=0$ 时可 $b=0$、$a\ne 0$，复数为非零实数（不充分），故选 B

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，得 $a+\frac{b}{\mathrm{i}}=a-b\mathrm{i}$。

$a-b\mathrm{i}$ 为纯虚数 $⟺a=0$ 且 $b\ne 0$。

若复数为纯虚数，则 $a=0$，从而 $ab=0$，即”纯虚数 $\Rightarrow ab=0$“成立（必要性成立）。

反之，$ab=0$ 时可能 $b=0$、$a\ne 0$，此时 $a-b\mathrm{i}=a$ 为非零实数，不是纯虚数，即”$ab=0\Rightarrow$ 纯虚数”不成立（不充分）。

所以"$ab=0$"是”复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法（$\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$）；纯虚数的条件（实部为 $0$ 且虚部不为 $0$）；充分条件与必要条件的判定

核心方法：先把复数化成 $a+b\mathrm{i}$ 的标准形式，写出”纯虚数”的精确条件，再比较两个条件的强弱

避坑指南：纯虚数要求虚部也不为零：$ab=0$ 包含 $a=0$（此时还须 $b\ne 0$ 才是纯虚数）与 $b=0$（复数为实数）两种情形，所以由 $ab=0$ 推不出纯虚数；方向别搞反——“小条件是大条件的必要条件”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数概念与充要条件结合题，与 2013 年安徽卷文第 1 题、2013 年上海卷文第 3 题同族。

结论推广：$a+b\mathrm{i}$ 为纯虚数 $⟺a=0$ 且 $b\ne 0$；为实数 $⟺b=0$；为虚数 $⟺b\ne 0$。“虚部不为零”是纯虚数判定中最容易丢的一条。

方法推广：充要条件判断题的固定套路：把两个条件各自化成最简等价形式，再用”谁推出谁”定方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-01 单-复数纯虚数
• 2013-上海卷文-03 填-纯虚数
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定