2013-湖南卷理-01 单-复数乘法

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的乘法。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 复数 $z=i(1+i)$（$i$ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 化简复数 $z$：利用乘法分配律展开 $i(1+i)$。
2. 确定代数形式：将 $i^2$ 替换为 $-1$，整理成标准形式 $a+bi$。
3. 寻找对应点坐标：复数 $a+bi$ 对应复平面内的点 $(a,b)$。
4. 判定象限：根据横纵坐标的正负号确定该点所在的象限。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简复数 $z$ $z=i(1+i)=i+i^2$

第二步：整理为标准形式 由于 $i^2=-1$，代入上式得： $z=i-1=-1+i$

第三步：确定复平面内的对应点 复数 $z=-1+i$ 的实部为 $-1$，虚部为 $1$。 在复平面内，其对应的点坐标为 $(-1,1)$。

第四步：判定象限 点 $(-1,1)$ 的横坐标 $x=-1<0$，纵坐标 $y=1>0$。 该点位于第二象限。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的代数运算（尤其是 $i^2$ 的处理）及复数与平面直角坐标系的对应关系。

核心方法：“化代数为几何”。先将复数化简，再根据实部 $a$ 和虚部 $b$ 确定坐标 $(a,b)$。

避坑指南：展开时注意符号，不要漏掉 $i^2=-1$ 这一关键步骤。象限分布规律：第一象限 $(+,+)$，第二象限 $(-,+)$，第三象限 $(-,-)$，第四象限 $(+,-)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模、共轭复数、复数的极坐标表示。

结论推广：若求 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}=-1-i$ 的象限，则其对应点位于第三象限。

方法推广：对于复杂的复数式子求象限，可以先求出复数的幅角范围进行判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-02 单-复数乘法
• 2013-天津卷文-09 填-复数乘法
• 2026-新高考I卷-09 多-复数