2014-江苏卷-21C 解-坐标系与参数方程

本题导读

本题考查直线的参数方程与抛物线的综合应用。通过消去参数 $t$ 将直线转化为普通方程，再与抛物线联立求出交点坐标，最后利用两点间距离公式求弦长。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$ ($t$ 为参数)，直线 $l$ 与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $A,B$ 两点，求线段 $AB$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 消参转化：观察直线的参数方程，通过两式相加即可消去参数 $t$，得到直线的普通方程。
2. 联立求解：将直线的普通方程与抛物线方程联立，构造关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程。
3. 求交点：解二次方程求出点 $A$ 和点 $B$ 的坐标。
4. 计算弦长：利用两点间距离公式 $d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ 计算 $|AB|$。 注：亦可利用直线的参数方程中参数 $t$ 的几何意义，通过 $|t_1-t_2|$ 直接求解。

✅【答案】

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$8\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化参数方程为普通方程 已知直线 $l$：$\{\begin{array}{l}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t\text{(1)}\\ y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\text{(2)}\end{array}$ ① + ② 得：$x+y=3$，即直线 $l$ 的普通方程为 $y=3-x$。

第二步：联立方程求交点 将 $y=3-x$ 代入抛物线方程 $y^2=4x$： $(3-x{)}^2=4x$ $9-6x+x^2=4x$ $x^2-10x+9=0$ 解得：$x_1=1,x_2=9$。 相应的 $y$ 值为： 当 $x=1$ 时，$y=3-1=2$； 当 $x=9$ 时，$y=3-9=-6$。 故交点坐标为 $A(1,2),B(9,-6)$。

第三步：计算线段 $AB$ 的长 $|AB|=\sqrt{(9-1{)}^2+(-6-2{)}^2}$ $|AB|=\sqrt{8^2+(-8{)}^2}=\sqrt{64+64}$ $|AB|=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$

故答案为 $8\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与普通方程的互化，直线与圆锥曲线的弦长计算。

2. 核心方法：普通方程联立法。在本题中，直线的方向向量刚好对应倾斜角 $135^{\circ }$，参数 $t$ 具有几何意义（点到定点的距离），若采用 $|t_1-t_2|$ 求解会更快捷。

3. 避坑指南：消参时注意准确性；计算两点距离时注意坐标的正负号，避免计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 极坐标方程与直角坐标方程的互化。

2. 结论推广: 直线参数方程中 $t$ 的几何意义可用 $|t_1-t_2|$ 直接求弦长。

3. 方法推广: 普通方程联立法。在本题中，直线的方向向量刚好对应倾斜角 $135^{\circ }$，参数 $t$ 具有几何意义（点到定点的距离），若采用 $|t_1-t_2|$ 求解会更快捷。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.16 参数方程与复数变换
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-23 解-坐标系与参数方程
• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程