2014-新课标I卷文-03 单-复数的模

本题导读

$z=\frac{1}{1+i}+i=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，$|z|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 设 $z=\frac{1}{1+i}+i$，则 $|z|=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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$z=\frac{1}{1+i}+i=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$，$|z|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$。

所以 $z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+i=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$。

$|z|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法化简；复数的模

2. 核心方法：分母实数化（同乘共轭）→ 模公式

3. 避坑指南：先化简成 $a+bi$ 再求模；也可用 $\left|\frac{1}{1+i}\right|=\frac{1}{|1+i|}$ 分项算模，但要防止漏掉 $+i$ 这一项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数四则与求模的基础题（doc 考点定位：复数），与 2014 年新课标Ⅰ理第 2 题同卷同考点（理为乘法）。

2. 结论推广: 一般地，$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$，模运算可”先化简后求模”或”先求模后运算”。

3. 方法推广: 复数小题标准路径：分母实数化 → 整理为 $a+bi$ → 按需取模或共轭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算