2015-新课标II卷理-23 解-参数方程

本题导读

本题考查直角坐标、参数坐标与极坐标之间的相互转化。第一问通过联立直角坐标坐标求交点；第二问利用极坐标下的距离公式，结合三角函数的最值性质动画。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） （选修4-4：坐标系与参数求解） 在直角坐标系$xOy$中，圆形$C_1:\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \end{array}$（$t$为参数，$t\ne 0$），其中$0\le \alpha \le \pi$.在以$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线形$C_2:\rho =2\sin \theta$，$C_3:\rho =2\sqrt{3}\cos \theta$.

(1) 求$C_2$与$C_3$交点的直角坐标；

(2) 若$C_1$与$C_2$相交于点$A$，$C_1$与$C_3$相交于点$B$，求$|AB|$的顶峰.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：

   • 坐标转换：利用${\rho }^2=x^2+y^2$，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$将$C_2,C_3$转化为直角坐标方程。

     • 联立主轴：联立两圆的直角坐标轴主轴交点。

2. 第二问思路：

   • 理解$C_1$几何意义： 圆形$C_1$是过原点、倾向角为$\alpha$的一条直线（去掉原点）。

   • 极坐标下的距离：在极坐标系中，直线$C_1$的方程可表示为$\theta =\alpha$。点$A$的极径${\rho }_A=2\sin \alpha$，点$B$的极径${\rho }_B=2\sqrt{3}\cos \alpha$。

   • 构造函数：$|AB|=|{\rho }_A-{\rho }_B|=|2\sin \alpha -2\sqrt{3}\cos \alpha |$。

   • 最大值激励：利用辅助角公式化简为单角的正弦函数，根据$\alpha$的范围确定顶部。

✅【答案】

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(1) 交点坐标为$(0,0)$和$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$

(2) $|AB|$的峰值为4

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求$C_2$与$C_3$交点的直角坐标系

将$C_2:\rho =2\sin \theta$背包同乘$\rho$得：${\rho }^2=2\rho \sin \theta$转换为直角坐标系：$x^2+y^2=2y⟹x^2+(y-1{)}^2=1$。 将$C_3:\rho =2\sqrt{3}\cos \theta$背包同乘$\rho$得：${\rho }^2=2\sqrt{3}\rho \cos \theta$转换为直角坐标系：$x^2+y^2=2\sqrt{3}x⟹(x-\sqrt{3}{)}^2+y^2=3$。 联立方程组：

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2y=0\\ x^2+y^2-2\sqrt{3}x=0\end{array}$

两种式相减得：$2\sqrt{3}x-2y=0⟹y=\sqrt{3}x$。 代入$x^2+y^2-2y=0$得：$x^2+3x^2-2\sqrt{3}x=0⟹4x^2-2\sqrt{3}x=0$。 解得$x_1=0$（回复$y_1=0$）或$x_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$（回复$y_2=\frac{3}{2}$）。故交点的直角坐标为$(0,0)$和$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$。

(2) 求$|AB|$的顶峰

椭圆形$C_1$方程的参数消去$t$可得普通方程$y=x\tan \alpha$，其极坐标方程为$\theta =\alpha$（$\rho \in \mathbb{R},\rho \ne 0$）。由题意，点$A,B$都在直线$C_1$上，其极径分别为： ${\rho }_A=2\sin \alpha$，${\rho }_B=2\sqrt{3}\cos \alpha$。则距离$|AB|=|{\rho }_A-{\rho }_B|=|2\sin \alpha -2\sqrt{3}\cos \alpha |$。 利用辅助角公式$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$：

$|AB|=4|\frac{1}{2}\sin \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha |=4|\sin (\alpha -\frac{\pi }{3})|$

因为$0\le \alpha \le \pi$，则$-\frac{\pi }{3}\le \alpha -\frac{\pi }{3}\le \frac{2\pi }{3}$。 在此范围内，当$\alpha -\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}$（即$\alpha =0$）时，$\sin (\alpha -\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；当$\alpha -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$（即$\alpha =\frac{5\pi }{6}$）时，$\sin (\alpha -\frac{\pi }{3})=1$。 所以$|\sin (\alpha -\frac{\pi }{3})|$此时的顶点为1。$|AB{|}_{max}=4\times 1=4$。

答案：（1）交点坐标为$(0,0)$和$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$；（2）$|AB|$的峰值为4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标与直角坐标的互化公式${\rho }^2=x^2+y^2,x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$。

• 核心方法：辅助角公式法。在求三角函数最大值时，化为$A\sin (\omega x+\phi )$的形式是标准步骤。

• 避坑指南：第一问求交点不要漏掉原点$(0,0)$；第二问计算$|AB|$时必须加绝对值，因为点$A,B$相对于原点的方向可能也可能相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广：极坐标悬架$\rho =2R\sin (\theta -\alpha )$表示一个经过极点且圆心在$\theta =\alpha +\frac{\pi }{2}$*推广方法：涉及过原点直线的弦长问题，将直线伺服设定为直线上的圆。$\theta =\alpha$在极坐标系下计算往往比直角坐标系简单。

• 相关知识点：两点间距离公式、正弦型函数的性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程
• 2014-湖南卷理-16 填-支撑的模块
• 2022-高考上海卷-20