2018-全国卷I文-05 单-圆柱几何特征

本题导读

本题考查圆柱的几何特征，以及圆柱的表面积。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $O_1,O_2$，过直线 $O_1{O}_2$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 $8$ 的正方形，则该圆柱的表面积为 ()

A. $12\sqrt{2}\pi$　　　　　　B. $12\pi$　　　　　　C. $8\sqrt{2}\pi$　　　　　　D. $10\pi$

🔍【思路分析】

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1. 轴截面为正方形且面积为 $8$，由此求出正方形的边长（即圆柱的高和底面直径）。
2. 计算圆柱的底面半径与高。
3. 利用圆柱表面积公式 $S=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}$ 进行求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$。 过直线 $O_1{O}_2$ 的平面截圆柱所得的轴截面是一个正方形，其边长等于底面直径 $2r$ 和高 $h$，即 $h=2r$。 因为轴截面面积为 $8$， 所以 $(2r)\cdot h=2r\cdot 2r=4r^2=8⟹r^2=2⟹r=\sqrt{2}$。 进而高 $h=2\sqrt{2}$。 圆柱的底面积为 $S_{\text{底}}=\pi r^2=2\pi$， 圆柱的侧面积为 $S_{\text{侧}}=2\pi rh=2\pi \times \sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=8\pi$， 圆柱的表面积为： $S=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=8\pi +2\times 2\pi =12\pi$ 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱的轴截面性质、表面积公式。
2. 核心方法：截面分析法。
3. 避坑指南：注意圆柱轴截面的长和宽对应底面直径与高，切勿错当成半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何表面积与体积常规考题。
2. 结论推广: 旋转体的表面积计算通常归结为其轴截面的几何特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程