2018-全国卷II理-16 填-圆锥性质

本题导读

本题考查圆锥的母线、高与底面半径的关系。核心在于方程思想、几何还原法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）已知圆锥的顶点为 $S$，母线 $SA$，$SB$ 所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$，$SA$ 与圆锥底面所成角为 $45^{\circ }$.若 $△SAB$ 的面积为 $5\sqrt{15}$，则该圆锥的侧面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求母线长 $l$：

• 设母线长为 $l$，则 $SA=SB=l$。
• 已知 $\cos \angle ASB=\frac{7}{8}$，利用同角三角函数关系求出 $\sin \angle ASB$。
• 根据 $S_{△SAB}=\frac{1}{2}{l}^2\sin \angle ASB=5\sqrt{15}$，求出 $l^2$。

2. 求底面半径 $r$：

• $SA$ 与底面所成角为 $45^{\circ }$，在直角三角形 $SOA$（$O$ 为底面圆心）中，$\angle SAO=45^{\circ }$。
• 则底面半径 $r=l\cdot \cos 45^{\circ }$。

3. 计算侧面积：

• 圆锥侧面积公式为 $S_{侧}=\pi rl$。
• 代入 $r$ 和 $l$ 的表达式计算最终结果。

✅【答案】

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$40\sqrt{2}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $40\sqrt{2}\pi$

【解析过程】

1. 利用 $△SAB$ 面积求 $l$： 设圆锥母线长为 $l$。在 $△SAB$ 中，$SA=SB=l$。 已知 $\cos \angle ASB=\frac{7}{8}$。 因为 $\angle ASB\in (0,\pi )$，所以： $\sin \angle ASB=\sqrt{1-{\left(\frac{7}{8}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{15}}{8}$ 由面积公式 $S_{△SAB}=\frac{1}{2}SA\cdot SB\cdot \sin \angle ASB$ 得： $\frac{1}{2}\cdot l^2\cdot \frac{\sqrt{15}}{8}=5\sqrt{15}$ 解得：$l^2=80$。

2. 利用线面角求 $r$： 设圆锥底面半径为 $r$。 由于 $SA$ 与底面所成角为 $45^{\circ }$，即在 $Rt△SOA$ 中，$\angle SAO=45^{\circ }$。 则 $r=l\cdot \cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}l$。

3. 计算侧面积： 圆锥的侧面积 $S_{侧}=\pi rl$。 $S_{侧}=\pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}l\right)\cdot l=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi l^2$ 将 $l^2=80$ 代入： $S_{侧}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \cdot 80=40\sqrt{2}\pi$

故填入：$40\sqrt{2}\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式链条：本题考查了三角形面积 $\to$ 母线 $\to$ 底面半径 $\to$ 侧面积的完整逻辑链。
2. 线面角的转化：一定要明确线面角是在包含顶点、圆心、底面点的直角三角形中定义的。
3. 计算技巧：在计算过程中，不需要求出 $l$ 的具体数值（$\sqrt{80}$），保留 $l^2$ 整体代入最后公式更简便且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下关联：

• 侧面展开图：是一个扇形，半径为 $l$，弧长为 $2\pi r$。
• 展开图圆心角：$\alpha =\frac{2\pi r}{l}=2\pi \sin \theta$（其中 $\theta$ 为母线与轴的夹角）。
• 本题模型：母线与底面成 $45^{\circ }$，意味着高 $h$、半径 $r$、母线 $l$ 构成等腰直角三角形，即 $r:h:l=1:1:\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程