2019-浙江卷-08 单-异面直线角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及线面角。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）设三棱锥 $V-ABC$ 的底面是正三角形，侧棱长均相等，$P$ 是棱 $VA$ 上的点（不含端点），记直线 $PB$ 与直线 $AC$ 所成角为 $\alpha$，直线 $PB$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $\beta$，二面角 $P-AC-B$ 的平面角为 $\gamma$，则()

A. $\beta <\gamma ,\alpha <\gamma$　　　　B. $\beta <\alpha ,\beta <\gamma$　　　　C. $\beta <\alpha ,\gamma <\alpha$　　　　D. $\alpha <\beta ,\gamma <\beta$

🔍【思路分析】

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1. 明确几何背景：侧棱长相等且底面为正三角形，说明 $V-ABC$ 是一个正三棱锥。顶点 $V$ 在底面的投影 $O$ 是底面正三角形的中心。
2. 方法一：最小角定理（快捷法）：

• 线面角 $\beta$ 是最小角：在空间中，斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与它在平面内的射影所成的角（线面角）最小。
• 直线 $PB$ 是斜线，它与底面内的直线（或平行于底面的直线）所成的角必然大于线面角 $\beta$。
• 考察 $\alpha$：直线 $AC$ 在底面内，故 $\alpha >\beta$。
• 考察 $\gamma$：二面角的平面角通常与线面角满足 $\sin \beta =\sin \gamma \cdot \sin \theta$（其中 $\theta$ 为面面交线与射影的夹角），由于 $\sin \theta \le 1$，故 $\sin \beta <\sin \gamma$，即 $\beta <\gamma$。

3. 方法二：特殊位置法（验证法）： 将三棱锥设为最特殊的正四面体，且取 $P$ 为 $VA$ 的中点，通过建立空间直角坐标系或纯几何计算算出三个角的正弦或余弦值进行比较。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

步骤 1：分析 $\beta$ 与 $\alpha$ 的关系 根据最小角定理：平面的斜线与平面内各直线所成角中，线面角是最小的。 直线 $PB$ 是平面 $ABC$ 的斜线，而直线 $AC$ 位于平面 $ABC$ 内。 因此，直线 $PB$ 与 $AC$ 所成的角 $\alpha$ 必然大于 $PB$ 与平面 $ABC$ 所成的角 $\beta$。 即：$\beta <\alpha$。（排除 D）


步骤 2：分析 $\beta$ 与 $\gamma$ 的关系 过点 $P$ 作 $PD\perp$ 平面 $ABC$ 于 $D$，过 $D$ 作 $DE\perp AC$ 于 $E$，连接 $PE$。 由三垂线定理知 $PE\perp AC$。 则 $\angle PED=\gamma$（二面角的平面角），$\angle PBD=\beta$（线面角）。 在 $Rt△PDE$ 中，$PD=PE\sin \gamma$； 在 $Rt△PDB$ 中，$PD=PB\sin \beta$； 故 $PE\sin \gamma =PB\sin \beta ⟹\sin \beta =\frac{PE}{PB}\sin \gamma$。 在 $Rt△PEB$（或者观察投影关系）中，$PE$ 是直角边，$PB$ 是斜边，显然 $PE<PB$。 因此 $\frac{PE}{PB}<1$，得出 $\sin \beta <\sin \gamma$。 由于 $\beta ,\gamma$ 均为锐角，所以 $\beta <\gamma$。

综上所述，$\beta <\alpha$ 且 $\beta <\gamma$。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 最小角定理的威力：$\text{线面角}\le \text{异面直线角}$。这个结论在处理比较类选择题时非常高效，可以省去大量的建系计算。
2. 三垂线定理与空间角：二面角的平面角 $\gamma$、线面角 $\beta$ 以及侧面上的线与棱的夹角，通常构成一个直角三角形的投影关系。熟记 $\sin \text{线面角}=\sin \text{二面角}\times \sin \text{线棱角}$ 这一射影公式对解题大有裨益。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以建立一张关于“空间角比较”的直观清单：

• 最小角性质：斜线与平面所成的角 $\beta$，是该斜线与平面内所有直线所成角中最小的一个。
• 二面角 vs 线面角：对于同一个顶点发出的斜线，其对应的二面角 $\gamma$ 总是大于线面角 $\beta$（除非斜线垂直于交线时相等）。
• 特殊图形验证：当逻辑推导遇到障碍时，立刻构建正方体或正四面体，取中点或顶点进行特殊化。这在浙江卷的立体几何小题中几乎是通解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角