2021-北京卷-03 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及单调性。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）已知 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，那么“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增”是“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$”的（\quad）

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

识别问题类型：本题考查命题之间的充分条件与必要条件的判断。

梳理命题结构：

设条件 $p$ ：“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增”；

设结论 $q$ ：“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$”。

确定解题策略：

判断充分性：若 $p\Rightarrow q$ 恒成立，则是充分条件。

判断必要性：若 $q\Rightarrow p$ 恒成立，则是必要条件；若要证明推不出，构造一个反例即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判断充分性（即证明 $p\Rightarrow q$）

假设条件 $p$ 成立，即函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上单调递增。

根据单调递增函数的定义：对于区间 $[0,1]$ 上的任意自变量 $x$，都有 $x\le 1$。

由于 $f(x)$ 单调递增，故必有 $f(x)\le f(1)$。

这说明 $f(1)$ 是该函数在区间 $[0,1]$ 上的最大值，即结论 $q$ 成立。

所以，$p\Rightarrow q$ 成立，“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增”是充分条件。

第二步：判断必要性（即判断 $q\Rightarrow p$ 是否成立）

假设结论 $q$ 成立，即函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$。

我们需要判断这能否保证 $f(x)$ 在整个区间 $[0,1]$ 上一定是单调递增的。

可以尝试通过构造反例来证伪：

考虑二次函数 $f(x)=(x-\frac{1}{3}{)}^2$，其定义域为 $[0,1]$。

计算端点及顶点的函数值：

当 $x=0$ 时，$f(0)=(-\frac{1}{3}{)}^2=\frac{1}{9}$；

当 $x=\frac{1}{3}$ 时，$f(\frac{1}{3})=0$；

当 $x=1$ 时，$f(1)=(1-\frac{1}{3}{)}^2=\frac{4}{9}$。

显然，该函数在区间 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)=\frac{4}{9}$，满足结论 $q$ 的前提。

但是，该函数在 $[0,\frac{1}{3}]$ 上单调递减，在 $[\frac{1}{3},1]$ 上单调递增。它在整个 $[0,1]$ 上并非单调递增。

这就说明条件 $p$ 不成立。

因此，$q\nRightarrow p$，“函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增”不是必要条件。

结论：对应选项 A 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心技巧：判断充分必要条件时，要厘清“谁推谁”。$A$ 是 $B$ 的充分条件指 $A\Rightarrow B$；$A$ 是 $B$ 的必要条件指 $B\Rightarrow A$。

难点突破（举反例法）：在判断“推不出”的情况时，最有效的方法就是构造反例。只要能找到一个满足前件但不满足后件的特例，推导关系就被打破。常用的反例素材通常是含有“拐点”的二次函数、带绝对值的函数或分段函数。

易错辨析（几何直观解释）：函数在右端点取得最大值，只能说明右端点的位置最高。在这个过程中，函数图像可以有起伏（例如先下降一点，再大幅度上升），“最大值在右端点”是比“全局单调递增”弱得多的条件。

试题评价：本题将函数的基本性质（单调性与最值）与逻辑用语巧妙结合，考查了学生的逻辑推理能力和构造反例的思维能力，是一道极佳的基础概念检验题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定
• 2013-大纲卷理-12 单-三角函数对称性与最值