2022-乙卷理-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查直角坐标互化。核心在于坐标转化法、参数直接代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos 2t\\ y=2\sin t\end{array}$ ($t$ 为参数)．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{3})+m=0$．

（1）写出 $l$ 的直角坐标方程；

（2）若 $l$ 与 $C$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（方程互化）：

   • 利用三角恒等变换展开 $\sin (\theta +\frac{\pi }{3})$。

   • 利用互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 将极坐标方程转化为直角坐标方程。

2. 第二问（公共点问题）：

   • 方法一（消参法）：将曲线 $C$ 的参数方程消去 $t$ 化为普通方程（注意 $x,y$ 的范围限制）。联立直线方程，转化为关于 $y$ 的一元二次方程在特定区间上有解的问题。

   • 方法二（参数代入法）：直接将曲线 $C$ 的参数 $x(t),y(t)$ 代入直线方程，得到关于 $\sin t$ 的二次方程，利用三角函数的值域求解 $m$ 的范围。此法通常更快捷。

✅【答案】

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(1) $\sqrt{3}x+y+2m=0$

(2) $[-\frac{19}{12},\frac{5}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）写出 $l$ 的直角坐标方程

1. 展开极坐标方程：

已知 $l:\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{3})+m=0$．

展开正弦项：

$\rho (\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3})+m=0$

$\rho (\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta )+m=0$

$\frac{1}{2}\rho \sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\rho \cos \theta +m=0$

2. 代入直角坐标公式：

令 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，代入上式：

$\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}x+m=0$

3. 整理方程：

两边同乘 $2$，得：

$\sqrt{3}x+y+2m=0$．

结论：直线 $l$ 的直角坐标方程为 $\sqrt{3}x+y+2m=0$．

（2）求 $m$ 的取值范围

方法一：参数直接代入法（推荐）

1. 代入直线方程：

   将曲线 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos 2t\\ y=2\sin t\end{array}$ 代入直线 $l$ 的方程 $\sqrt{3}x+y+2m=0$：

   $\sqrt{3}(\sqrt{3}\cos 2t)+2\sin t+2m=0$

   $3\cos 2t+2\sin t+2m=0$

2. 转化为同名三角函数：

   利用二倍角公式 $\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$：

   $3(1-2{\sin }^{2}t)+2\sin t+2m=0$

   $3-6{\sin }^{2}t+2\sin t+2m=0$

   分离参数 $2m$：

   $2m=6{\sin }^{2}t-2\sin t-3$

3. 求解函数值域：

   令 $u=\sin t$。因为 $t\in \mathbb{R}$，所以 $u\in [-1,1]$．

   设 $f(u)=6u^2-2u-3$，需研究该函数在 $[-1,1]$ 上的值域。

   对称轴为 $u=-\frac{-2}{2\times 6}=\frac{1}{6}$．

   • 最小值：当 $u=\frac{1}{6}$ 时，

     $f(\frac{1}{6})=6(\frac{1}{36})-2(\frac{1}{6})-3=\frac{1}{6}-\frac{1}{3}-3=-\frac{1}{6}-3=-\frac{19}{6}$．

   • 最大值：比较端点值，

     $f(-1)=6(-1{)}^2-2(-1)-3=6+2-3=5$；

     $f(1)=6(1{)}^2-2(1)-3=1$．

     故最大值为 $5$．

     所以 $f(u)\in [-\frac{19}{6},5]$．

4. 确定 $m$ 的范围：

   由 $2m=f(u)$ 可知：

   $-\frac{19}{6}⩽2m⩽5$

   $-\frac{19}{12}⩽m⩽\frac{5}{2}$．

方法二：消参联立法（通法）

1. 曲线 $C$ 的普通方程：

   $x=\sqrt{3}(1-2{\sin }^{2}t)=\sqrt{3}-2\sqrt{3}{\sin }^{2}t$。

   由 $y=2\sin t⟹{\sin }^{2}t=\frac{y^2}{4}$，代入得：

   $x=\sqrt{3}-2\sqrt{3}\cdot \frac{y^2}{4}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}^2$。

   整理得抛物线方程：$y^2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$。

   重要限制：由于 $x=\sqrt{3}\cos 2t$，故 $x\in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]$；$y\in [-2,2]$。

2. 联立方程：

   由直线方程得 $x=-\frac{y+2m}{\sqrt{3}}$。

   代入抛物线方程：

   $y^2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(-\frac{y+2m}{\sqrt{3}}\right)+2$

   $y^2=\frac{2}{3}(y+2m)+2$

   $3y^2-2y-4m-6=0$

3. 转化为区间有解问题：

   问题转化为：关于 $y$ 的方程 $3y^2-2y-6=4m$ 在区间 $[-2,2]$ 上有实数根。

   令 $g(y)=3y^2-2y-6$，$y\in [-2,2]$。

   对称轴 $y=\frac{1}{3}$。

   • 最小值：$g(\frac{1}{3})=3(\frac{1}{9})-\frac{2}{3}-6=-\frac{19}{3}$。

   • 端点值：$g(-2)=12+4-6=10$；$g(2)=12-4-6=2$。

     故 $g(y)\in [-\frac{19}{3},10]$。

     所以 $-\frac{19}{3}⩽4m⩽10⟹-\frac{19}{12}⩽m⩽\frac{5}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 参数法的优越性：对于“公共点”问题，如果曲线是参数方程，直接将 $x(t),y(t)$ 代入直线方程通常比消参后联立更简单，因为它自然保留了变量（如 $\sin t$）的取值范围，避免了消参后容易遗漏定义域的问题。

  2. 二次函数最值：本题最终归结为二次函数在闭区间上的值域问题，务必注意对称轴是否在区间内。

• 规律总结：三角换元（参数方程本质）能将复杂的解析几何位置关系转化为三角函数的值域问题。

• 避坑指南：

  • 极坐标转化：$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，不要记反数值。

  • 范围限制：若使用方法二（消参），必须明确 $x$ 和 $y$ 的取值范围，否则若仅用 $\Delta \ge 0$ 判定，会得出错误的范围 $m\ge -\frac{19}{12}$（无上限）。

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程
• 2014-湖北卷理-16 填-参数方程互化