2007-北京卷理-16 解-线面所成角其最值

本题导读

本题考查空间位置关系的论证以及线线角、线面角最值的求解。题目给出的旋转直角三角形构成了一个天然的空间直角坐标系架构，利用向量法可以极其高效、严谨地推进所有问的解答。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 如图，在 $\text{Rt}△AOB$ 中， $\angle OAB=\frac{\pi }{6}$，斜边 $AB=4$. $\text{Rt}△AOC$ 可以通过 $\text{Rt}△AOB$ 以直线 $AO$ 为轴旋转得到，且二面角 $B-AO-C$ 是直二面角. 动点 $D$ 在斜边 $AB$ 上.

(1) 求证：平面 $COD\perp$ 平面 $AOB$；

(2) 当 $D$ 为 $AB$ 的中点时，求异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的大小；

(3) 求 $CD$ 与平面 $AOB$ 所成角的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 定量确定几何基本量与建系：

• 在 $\text{Rt}△AOB$ 中， 斜边 $AB=4,\angle OAB=30^{\circ }$， 故 $OB=AB\sin 30^{\circ }=2,OA=AB\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$。
• 旋转得到的 $\text{Rt}△AOC\cong \text{Rt}△AOB$， 故 $OC=2$。
• 二面角 $B-AO-C$ 是直二面角， 说明 $OC\perp OB$。由于 $AO\perp OB,AO\perp OC$， 故 $OA,OB,OC$ 三条直线两两垂直。
• 以 $O$ 为坐标原点， 射线 $OB,OC,OA$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

2. 第一问（证明面面垂直）：

• 由建系特征知 $CO\perp$ 平面 $AOB$。因为 $CO\subset$ 平面 $COD$， 依据面面垂直判定定理即可得证。

3. 第二问（求异面直线夹角）：

• 写出各顶点坐标，求出中点 $D$ 坐标。计算向量 $\overrightarrow{AO}$ 与 $\overrightarrow{CD}$， 套用夹角公式求余弦值并转化为弧度。

4. 第三问（求线面角最值）：

• 设出动点 $D$ 的参数化坐标，求出向量 $\overrightarrow{CD}$。由于 $y$ 轴（ $\overrightarrow{OC}$）垂直于平面 $AOB$， 线面角的正弦值等于 $\overrightarrow{CD}$ 与平面法向量夹角余弦值的绝对值， 通过三角函数法求最值。

✅【答案】

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（1）平面𝐶𝑂𝐷⟂平面𝐴𝑂𝐵.（2）异面直线𝐴𝑂与𝐶𝐷所成角的大小为arctan√153.

✍【详细解析】

Abstract

解：在 $\text{Rt}△AOB$ 中， $\angle AOB=90^{\circ }$， 斜边 $AB=4,\angle OAB=30^{\circ }$。 解直角三角形得： $OB=4\sin 30^{\circ }=2,OA=4\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$。 因为 $\text{Rt}△AOC$ 是由 $\text{Rt}△AOB$ 绕 $AO$ 轴旋转得到， 故 $\text{Rt}△AOC\cong \text{Rt}△AOB$， 显然有 $OC=OB=2,\angle AOC=90^{\circ }$。 因为二面角 $B-AO-C$ 是直二面角， 且 $AO$ 为棱， $OB\perp AO,OC\perp AO$， 故有 $OC\perp OB$。 由此可知， 直线 $OB,OC,OA$ 两两互相垂直。

以 $O$ 为原点， 射线 $OB,OC,OA$ 方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 各有关顶点的直角坐标分别为： $O(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2\sqrt{3})$

（1）证明：因为 $OC\perp OB$ 且 $OC\perp OA$， 且 $OB\cap OA=O$， 所以， 直线 $CO\perp$ 平面 $AOB$。 又因为直线 $CO\subset$ 平面 $COD$， 根据平面与平面垂直的判定定理， 包含垂线的平面必垂直于该底面： 所以， 平面 $COD\perp$ 平面 $AOB$。

（2）解：当 $D$ 为斜边 $AB$ 的中点时， 利用中点坐标公式求得点 $D$ 的坐标为： $D\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2},\frac{2\sqrt{3}+0}{2}\right)=(1,0,\sqrt{3})$

写出两条异面直线的方向向量坐标： $\overrightarrow{AO}=(0,0,-2\sqrt{3}),\overrightarrow{CD}=(1-0,0-2,\sqrt{3}-0)=(1,-2,\sqrt{3})$

计算这两个向量夹角的余弦值： $\cos ⟨\overrightarrow{AO},\overrightarrow{CD}⟩=\frac{\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AO}|\cdot |\overrightarrow{CD}|}=\frac{0\times 1+0\times (-2)+(-2\sqrt{3})\times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times \sqrt{1^2+(-2{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{-6}{2\sqrt{3}\times \sqrt{8}}=\frac{-6}{4\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$

因为异面直线所成角的取值范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$， 夹角余弦值恒为正： 所以， 异面直线 $AO$ 与 $CD$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$。 对应的夹角大小为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}$。

（3）解：因为动点 $D$ 落在斜边 $AB$ 上， 直线 $AB$ 在平面 $xOz$ 内。 设 $\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AB}$ （其中 $0\le \lambda \le 1$）。 $\overrightarrow{AB}=(2-0,0-0,0-2\sqrt{3})=(2,0,-2\sqrt{3})$ 则点 $D$ 的坐标参数化表示为： $D=A+\lambda \overrightarrow{AB}=(2\lambda ,0,2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\lambda )$

求出线段向量 $\overrightarrow{CD}$ 的坐标表达式： $\overrightarrow{CD}=(2\lambda -0,0-2,2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\lambda -0)=(2\lambda ,-2,2\sqrt{3}(1-\lambda ))$

因为 $CO\perp$ 平面 $AOB$， 故平面 $AOB$ 的一个标准单位法向量可以直接选取为 $y$ 轴方向向量： $\vec{n}=(0,1,0)$

设直线 $CD$ 与平面 $AOB$ 所成的角为 $\theta$ （ $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$）。 根据线面角公式： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{CD},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{CD}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{CD}|\cdot |\vec{n}|}$ $\sin \theta =\frac{|2\lambda \times 0+(-2)\times 1+2\sqrt{3}(1-\lambda )\times 0|}{\sqrt{(2\lambda {)}^2+(-2{)}^2+[2\sqrt{3}(1-\lambda ){]}^2}\times 1}=\frac{2}{\sqrt{4{\lambda }^2+4+12(1-2\lambda +{\lambda }^2)}}$ 化简分母根号内部的二次多项式： $\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{16{\lambda }^2-24\lambda +16}}=\frac{1}{\sqrt{4{\lambda }^2-6\lambda +4}}$

要想让线面角 $\theta$ 取得最大值， 由于正弦函数在锐角范围内单调递增， 必须让分母上的二次函数取得绝对最小值。 分析分母根式内部的二次函数 $g(\lambda )=4{\lambda }^2-6\lambda +4$， 其开口向上， 对称轴为： ${\lambda }_0=-\frac{-6}{2\times 4}=\frac{3}{4}$ 因为 $\frac{3}{4}\in [0,1]$， 处于合法的参数区间内部， 故当 $\lambda =\frac{3}{4}$ 时， $g(\lambda )$ 取得极小值（最小值）： $g\left(\frac{3}{4}\right)=4\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^2-6\times \frac{3}{4}+4=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4=\frac{7}{4}$

代回正弦公式中， 求得正弦值的最大值为： $\sin {\theta }_{\text{max}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{7}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$

因此， $CD$ 与平面 $AOB$ 所成角的最大值为 $\arcsin \frac{2\sqrt{7}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直二面角在空间直角坐标系建立中的基底支撑作用、线面角正弦值向法向量点积的无损转换、含参二次函数在闭区间上的最值求解。
2. 核心方法：空间向量代数建系法、函数最值求导/配方法。
3. 避坑指南：

• 第二问算出来的是向量夹角余弦值 $-\frac{\sqrt{6}}{4}$。必须牢记异面直线所成角只能是锐角或直角，其余弦值绝对不能是负数。在最后一步必须取绝对值转化为正数再写反三角函数。
• 第三问求线面角最大值时，注意 $\sin \theta$ 与分母二次函数是倒数关系，分母函数越小， 整体分式才越大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查面面垂直的判定定理与性质定理、空间直角坐标系与向量法，是北京卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（空间向量坐标代数化法、三角函数最值分析法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：面面垂直的判定定理与性质定理、空间直角坐标系与向量法相互关联，解答中综合运用了空间向量坐标代数化法、三角函数最值分析法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2010-山东卷文-20 解-面面垂直与体积比
• 2011-湖南卷理-19 解-二面角