2007-安徽卷文-02 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 椭圆 $x^2+4y^2=1$ 的离心率为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化标准方程：$x^2+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$，焦点在 $x$ 轴，$a^2=1$，$b^2=\frac{1}{4}$。
2. $c^2=a^2-b^2=\frac{3}{4}$，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{3}{4}}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

把 $x^2+4y^2=1$ 化为 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1$，则 $a^2=1$，$b^2=\frac{1}{4}$，$c^2=a^2-b^2=\frac{3}{4}$． 所以 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选 A． （易错点：$b^2=\frac{1}{4}$ 别看成 $b^2=4$；若把分母当 $a^2$ 会算出 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的倒数方向错误。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率

核心方法：化标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

避坑指南：$4y^2$ 对应 $b^2=\frac{1}{4}$ 而非 $4$；分母小的才是 $b^2$（焦点在 $x$ 轴）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离心率是圆锥曲线第一参数，安徽卷以最简形式 $x^2+4y^2=1$ 入题

结论推广：$x^2+\frac{y^2}{k}=1$ 的离心率只由 $k$ 决定：$e=\sqrt{1-k}$（$k⩽1$）

方法推广：离心率的反面应用：由 $e$ 定方程形状（轨迹问题）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2021-天津卷-18 解-椭圆综合
• 2015-山东卷文-15 填-双曲线离心率
• 2007-浙江卷文-10 单-双曲线准线直角
• 2007-新课标卷文-13 填-双曲线的离心率（渐近线距离）