2007-江苏卷-03 单-双曲线渐近线离心率

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 $y$ 轴上，一条渐近线方程为 $x-2y=0$，则它的离心率为 ()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 焦点在 $y$ 轴：标准方程 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，渐近线 $y=\pm \frac{a}{b}x$。
2. 由 $x-2y=0$ 即 $y=\frac{1}{2}x$ 得 $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{b}{a}=2$。
3. $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{5}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的标准方程为 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），其渐近线为 $y=\pm \frac{a}{b}x$． 由渐近线 $x-2y=0$，即 $y=\frac{1}{2}x$，得 $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，所以 $\frac{b}{a}=2$． 双曲线的焦半距满足 $c^2=a^2+b^2$，故离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.$ 故选 A． （易错点：焦点在 $y$ 轴时渐近线斜率是 $\pm \frac{a}{b}$ 而非 $\pm \frac{b}{a}$；若混淆会算得 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 误选 B。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线离心率

核心方法：焦点位置定渐近线斜率，e=√(1+b²/a²)

避坑指南：焦点在 y 轴时渐近线是 y=±(a/b)x；把斜率接反会算出 e=√5/2（B 选项陷阱）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”双曲线的简单几何性质”

结论推广：e²=1+b²/a²（与焦点位置无关，但 a、b 的归属由焦点定）

方法推广：由渐近线求离心率：先写标准方程形式，再对号入座定 a、b

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-13 填-双曲线渐近线方向向量
• 2010-北京卷文-13 填-双曲线焦点与渐近线
• 2010-四川卷文-10 单-椭圆离心率范围