2007-浙江卷文-14 填-线性规划最小值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性规划。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） $z=2x+y$ 中的 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-2y+5⩾0,\\ 3-x⩾0,\\ x+y⩾0,\end{array}$ 则 $z$ 的最小值是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画三条直线围成的三角形可行域。
2. 顶点：$x-2y+5=0$ 与 $x+y=0$ 交于 $\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)$；与 $3-x=0$ 交于 $(3,4)$；$3-x=0$ 与 $x+y=0$ 交于 $(3,-3)$。
3. 顶点代入 $z=2x+y$：$-\frac{10}{3}+\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$；$10$；$3$。最小 $-\frac{5}{3}$。

✅【答案】

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$-\frac{5}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线：$l_1:x-2y+5=0$，$l_2:x=3$，$l_3:x+y=0$，围成三角形可行域，三个顶点为 $A\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)(l_1\cap l_3),B(3,4)(l_1\cap l_2),C(3,-3)(l_2\cap l_3).$ 直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点：$x=3$ 代入 $3-2y+5=0$ 得 $y=4$；$l_1$ 与 $l_3$ 的交点：$x=-y$ 代入 $-y-2y+5=0$ 得 $y=\frac{5}{3}$，$x=-\frac{5}{3}$． 将各顶点代入 $z=2x+y$： $z_A=2\times \left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}=-\frac{5}{3},z_B=6+4=10,z_C=6-3=3.$ 所以 $z$ 的最小值为 $-\frac{5}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最小值

核心方法：画可行域三角形，目标函数直线沿法向量平移，顶点代入比大小

避坑指南：三个约束的交点要逐个准确求出；$z=2x+y$ 的最值在顶点处取，别漏最小值顶点 $\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求最值以填空为主流题型，可行域多为三角形

结论推广：顶点代入法适用于可行域为多边形的情形；目标函数斜率与边界斜率的相对位置决定最值顶点

方法推广：含参数线性规划（斜率讨论）是升级方向，注意目标函数直线与边界平行时最值有无穷多

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-13 填-线性规划最值
• 2008-北京卷文-06 单-线性规划最小值
• 2008-大纲卷II文-06 单-线性规划最小值
• 2007-天津卷文-02 单-线性规划最值