2007-重庆卷理-05 单-特殊角三角函数值

本题导读

本题考查利用正弦定理解三角形。核心在于首先通过内角和定理补全三角形的第三个内角，进而利用正弦定理的比例关系，将未知边长转化为已知边与对应角正弦值的代数乘除。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 在 $△ABC$ 中， $AB=\sqrt{3},A=45^{\circ },C=75^{\circ }$，则 $BC=$()

A. $3-\sqrt{3}$　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　C. 2　　　　　　D. $3+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 补全缺失的内角 $B$：利用三角形内角和定理， $B=180^{\circ }-(A+C)=180^{\circ }-(45^{\circ }+75^{\circ })=60^{\circ }$。
2. 构建正弦定理对应网络：

• 边 $AB$ 的对角为 $C=75^{\circ }$。
• 边 $BC$（待求）的对角为 $A=45^{\circ }$。
• 套用正弦定理结构： $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}⟹BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}$。

3. 精算非特殊角 $\sin 75^{\circ }$：利用两角和公式将 $\sin 75^{\circ }$ 展开为 $\sin (45^{\circ }+30^{\circ })$ 求出精确值，代入化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先， 根据三角形内角和定理， 求解出内角 $B$ 的大小： $B=180^{\circ }-A-C=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$

在 $△ABC$ 中， 已知边 $AB=\sqrt{3}$ 对应的对角为 $C=75^{\circ }$， 待求边 $BC$ 对应的对角为 $A=45^{\circ }$。 根据正弦定理， 边的长度与对角的正弦值成正比： $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}⟹BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}$

在代入数据前， 我们先利用两角和的正弦公式， 精密推导非特殊角 $\sin 75^{\circ }$ 的代数精确值： $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$ $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

将所有已知三角函数分量和边长代入正弦定理变形公式中： $BC=\frac{\sqrt{3}\times \sin 45^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ 分子分母同时乘以 4 进行分式化简： $BC=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ 分子分母同时约去公因式 $\sqrt{2}$： $BC=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ 进行分母有理化（分子分母同乘以 $\sqrt{3}-1$）： $BC=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(3-\sqrt{3})}{3-1}=\frac{2(3-\sqrt{3})}{2}=3-\sqrt{3}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的跨项求边、 $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 这一高考必备常数核心块的推导与有理化。
2. 核心方法：两角和公式展开法、分母有理化变形法。
3. 避坑指南：

• 最后的根式有理化化简需要细心。 $\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ 也可以直接分子分母同乘 $(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ 展开： $\frac{2\sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}=\frac{12-2\sqrt{12}}{4}=\frac{12-4\sqrt{3}}{4}=3-\sqrt{3}$。步步落笔扎实，切勿因粗心算错根式数字。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形内角和定理、正弦定理的应用是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是三角形内角和定理、正弦定理的应用的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用正弦定理边角互化法、两角和正弦展开法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-湖南卷理-03 单-正弦定理
• 2013-辽宁卷理-06 单-正弦定理