2008-上海卷文-05 填-向量和的模

本题导读

考查模长与数量积。平方展开 $|a+b{|}^2=7$，开方得 $\sqrt{7}$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 若向量 $a$、$b$ 满足 $|a|=1$，$|b|=2$，且 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，则 $|a+b|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|a+b{|}^2=(a+b)\cdot (a+b)=|a{|}^2+2a\cdot b+|b{|}^2$。
2. $a\cdot b=|a||b|\cos \frac{\pi }{3}=1\times 2\times \frac{1}{2}=1$。
3. $|a+b{|}^2=1+2+4=7$。

✅【答案】

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$\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

$a\cdot b=|a||b|\cos \frac{\pi }{3}=1\times 2\times \frac{1}{2}=1$. $|a+b{|}^2=|a{|}^2+2a\cdot b+|b{|}^2=1+2+4=7.$ 所以 $|a+b|=\sqrt{7}$. 故答案为 $\sqrt{7}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量和的模

核心方法：$|a+b{|}^2=1+4+2\times 1\times 2\times \frac{1}{2}=7$，$|a+b|=\sqrt{7}$

避坑指南：求模先平方：$|a+b{|}^2=|a{|}^2+2a\cdot b+|b{|}^2$；夹角给的是 $\frac{\pi }{3}$，$\cos$ 为正，交叉项别带负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“数量积 + 模”是向量填空标准件，2009 大纲Ⅱ文第 6 题、2009 天津文第 15 题同型。

结论推广：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$；$|a+b{|}^2=|a{|}^2+|b{|}^2+2a\cdot b$。

方法推广：对比记忆：$|a-b{|}^2$ 的交叉项是减号；题目给夹角还是给垂直，决定 $a\cdot b$ 是 $\frac{1}{2}$ 还是 $0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积