2008-上海卷文-20 解-双曲线数量积与截线

本题导读

考查双曲线综合。数量积用 $x^2=2y^2+2$ 消元得 $-3y^2-1$；截线长按直线与 $△DEM$ 三边相交情形分两段，各自用三角形边线方程解交点、乘斜率因子 $\sqrt{1+k^2}$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{2}-y^2=1$.

(1)求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)已知点 $M$ 的坐标为 $(0,1)$. 设 $P$ 是双曲线 $C$ 上的点，$Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点. 记 $\lambda =\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}$，求 $\lambda$ 的取值范围；

(3)已知点 $D$、$E$、$M$ 的坐标分别为 $(-2,-1)$、$(2,-1)$、$(0,1)$，$P$ 为双曲线 $C$ 上在第一象限内的点. 记 $l$ 为经过原点与点 $P$ 的直线，$s$ 为 $△DEM$ 截直线 $l$ 所得线段的长. 试将 $s$ 表示为直线 $l$ 的斜率 $k$ 的函数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1)常数项换 $0$：$\frac{x^2}{2}-y^2=0$，$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
2. (2)$P(x,y)$、$Q(-x,-y)$：$\lambda =(x,y-1)\cdot (-x,-y-1)=-x^2-y^2+1$；代入 $x^2=2y^2+2$ 得 $\lambda =-3y^2-1⩽-1$；$y=0$ 时取 $-1$，$|y|$ 任意大时趋于 $-\infty$。
3. (3)$P$ 在第一象限 $⟺k\in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$；$l:y=kx$ 与 $△DEM$ 的边 $EM$（$y=-x+1$）、$DM$（$y=x+1$）、$DE$（$y=-1$）分别求交。
4. 交点横坐标：与 $EM$ 交于 $x=\frac{1}{k+1}$，与 $DM$ 交于 $x=\frac{1}{1-k}$，与 $DE$ 交于 $x=\frac{1}{k}$；$l$ 上从原点到 $(x,kx)$ 的长为 $\sqrt{1+k^2}|x|$。
5. $0<k⩽\frac{1}{2}$ 时 $l$ 从 $EM$ 穿到 $DM$：$s=\sqrt{1+k^2}\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{1-k}\right)=\frac{2\sqrt{1+k^2}}{1-k^2}$；$\frac{1}{2}<k<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时从 $EM$ 穿到 $DE$：$s=\sqrt{1+k^2}\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}\right)=\frac{(2k+1)\sqrt{1+k^2}}{k(k+1)}$。

✅【答案】

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(1)$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$；(2)$(-\infty ,-1]$；(3)$s(k)=\{\begin{array}{ll}\frac{2\sqrt{1+k^2}}{1-k^2},& 0<k⩽\frac{1}{2},\\ \frac{(2k+1)\sqrt{1+k^2}}{k(k+1)},& \frac{1}{2}<k<\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)把 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 中的 $1$ 换成 $0$，得 $\frac{x^2}{2}-y^2=0$，即渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x.$ (2)设 $P(x,y)$，则 $Q(-x,-y)$， $\lambda =\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=(x,y-1)\cdot (-x,-y-1)=-x^2-y^2+1.$ 由 $P\in C$ 得 $x^2=2y^2+2$，所以 $\lambda =1-(2y^2+2)-y^2=-3y^2-1⩽-1.$ 当 $y=0$ 时 $\lambda =-1$；$|y|$ 无限增大时 $\lambda \to -\infty$. 所以 $\lambda$ 的取值范围为 $(-\infty ,-1]$. (3)设直线 $l:y=kx$. $P$ 在双曲线第一象限部分上，需 $\frac{1}{2}-k^2>0$，故 $k\in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. $△DEM$ 三边所在直线：$EM$：$y=-x+1$；$DM$：$y=x+1$；$DE$：$y=-1$. 直线 $l$ 与 $EM$ 的交点：$kx=-x+1$，$x=\frac{1}{k+1}$，该点到原点沿 $l$ 的长度为 $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k+1}$. 当 $0<k⩽\frac{1}{2}$ 时，$l$ 的另一侧与边 $DM$ 相交：交点 $x=\frac{1}{1-k}$，长度 $\frac{\sqrt{1+k^2}}{1-k}$，于是 $s=\sqrt{1+k^2}\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{1-k}\right)=\frac{2\sqrt{1+k^2}}{1-k^2}.$ 当 $\frac{1}{2}<k<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$l$ 的另一侧与边 $DE$ 相交：交点 $y=-1$，$x=-\frac{1}{k}$，长度 $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}$，于是 $s=\sqrt{1+k^2}\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}\right)=\frac{(2k+1)\sqrt{1+k^2}}{k(k+1)}.$ 综上， $s(k)=\{\begin{array}{ll}\frac{2\sqrt{1+k^2}}{1-k^2},& 0<k⩽\frac{1}{2},\\ \frac{(2k+1)\sqrt{1+k^2}}{k(k+1)},& \frac{1}{2}<k<\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线上的数量积与截线长

核心方法：$\lambda =-3y^2-1⩽-1$；$s(k)$ 分 $0<k⩽\frac{1}{2}$ 与 $\frac{1}{2}<k<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 两段

避坑指南：中心对称点 $Q=-P$ 使数量积化成 $1-x^2-y^2$，代入双曲线消 $x$；截线长按 $l$ 穿过三角形哪两条边分两段，交点参数 $x$ 乘 $\sqrt{1+k^2}$ 即长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线 + 向量 + 分段函数是上海卷压轴三合一，2009 上海文第 22 题、2009 重庆文第 20 题同型。

结论推广：$\frac{x^2}{2}-y^2=1\Rightarrow x^2=2y^2+2$；点 $(x,kx)$ 到原点距离 $\sqrt{1+k^2}|x|$。

方法推广：分段边界 $k=\frac{1}{2}$ 来自 $l$ 恰过 $D(-2,-1)$ 的方向 $k=\frac{1}{2}$；渐近线 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是定义域上界——两段各自成立、不必相加。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-四川卷文-08 单-双曲线数量积
• 2010-上海卷文-13 填-双曲线渐近线方向向量
• 2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值