2008-北京卷文-12 填-二项式常数项与系数和

本题导读

考查二项式双空。通项 $x^{10-5k}$，$k=2$ 时常数项 ${\mathrm{C}}_5^2=10$；各项系数之和令 $x=1$，$(1+1{)}^5=32$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） ${\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)}^5$ 的展开式中常数项为$\underline{}$；各项系数之和为$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(x^2{)}^{5-k}{\left(x^{-3}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k{x}^{10-5k}$。
2. 常数项：$10-5k=0$，$k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_5^2=10$。
3. 系数和：令 $x=1$，原式 $=(1+1{)}^5=32$。

✅【答案】

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$10$；$32$

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k{\left(x^2\right)}^{5-k}{\left(\frac{1}{x^3}\right)}^k={\mathrm{C}}_5^k{x}^{10-5k}.$ 令 $10-5k=0$，得 $k=2$，故常数项为 ${\mathrm{C}}_5^2=10.$ 令 $x=1$，各项系数之和为 $(1+1{)}^5=32.$ 故答案为 $10$；$32$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项与系数和

核心方法：通项 $x^{10-5k}$，$k=2$ 常数项 ${\mathrm{C}}_5^2=10$；系数和 $(1+1{)}^5=32$

避坑指南：常数项令指数为零解 $k$；“各项系数之和”与 $x$ 无关，令 $x=1$ 即得——这是”赋值法”最基本的应用，与”二项式系数之和 $2^n$“区分开。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“常数项 + 系数和”双空是二项式标准考法，2009 四川文第 14 题、2012 上海文第 8 题同型。

结论推广：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；系数和令 $x=1$；二项式系数和为 $\sum {\mathrm{C}}_n^k=2^n$（本题两者恰好相等，因各项系数无额外倍数）。

方法推广：先写通项定 $k$；系数和永远用赋值 $x=1$，别用”中间项系数”糊弄；双空题两个空都要作答。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2010-四川卷文-13 填-二项式常数项
• 2012-上海卷文-08 填-二项展开式常数项
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数