2008-北京卷文-15 解-三角降幂与值域

本题导读

考查降幂与辅助角。$f(x)=\frac{1}{2}+\sin \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)$，周期 $\pi \Rightarrow \omega =1$；$x\in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 时相位区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$，值域 $\left[0,\frac{3}{2}\right]$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)={\sin }^2\omega x+\sqrt{3}\sin \omega x\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)$（$\omega >0$）的最小正周期为 $\pi$.

(1)求 $\omega$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \omega x$（诱导公式），${\sin }^2\omega x=\frac{1-\cos 2\omega x}{2}$，$\sin \omega x\cos \omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$。
2. 化简为 $f(x)=\frac{1}{2}+\sin \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)$，周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\pi \Rightarrow \omega =1$。
3. 相位 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$，正弦最小 $-\frac{1}{2}$、最大 $1$，整体加 $\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1)$\omega =1$；(2)取值范围为 $\left[0,\frac{3}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由诱导公式 $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \omega x$，且 ${\sin }^2\omega x=\frac{1-\cos 2\omega x}{2}$， $f(x)=\frac{1-\cos 2\omega x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\omega x=\frac{1}{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\omega x-\frac{1}{2}\cos 2\omega x\right)=\frac{1}{2}+\sin \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right).$ 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }=\pi$，故 $\omega =1$. (2)$f(x)=\frac{1}{2}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，$x\in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 时 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right].$ $\sin$ 在该区间上最小值为 $-\frac{1}{2}$（相位 $-\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{7\pi }{6}$ 处）、最大值为 $1$（相位 $\frac{\pi }{2}$ 处）， 故 $f(x)$ 的取值范围为 $\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2},\frac{1}{2}+1\right]=\left[0,\frac{3}{2}\right].$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：降幂公式与正弦型函数值域

核心方法：$f(x)=\frac{1}{2}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，$\omega =1$，值域 $\left[0,\frac{3}{2}\right]$

避坑指南：${\sin }^2\to \frac{1-\cos 2x}{2}$、$\sin x\cos x\to \frac{1}{2}\sin 2x$ 降幂后用辅助角收拢；值域先算相位区间，再看 $\sin$ 在区间上的最值（端点与 $\frac{\pi }{2}$ 处）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“降幂—辅助角—周期/值域”是三角解答题标准链，2009 重庆文第 16 题、2010 江西文第 19 题同型。

结论推广：${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$；$a\sin t+b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\sin (t+\phi )$，$\tan \phi =\frac{b}{a}$。

方法推广：化简必须一步到位成 $A\sin (\omega x+\phi )+h$ 形式；值域盯相位区间端点与峰值点，别把 $[0,\frac{2\pi }{3}]$ 直接当正弦的定义区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-16 解-三角周期与单调
• 2010-江西卷文-19 解-三角化简与值域
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域