2008-北京卷文-18 解-均匀分组概率

本题导读

考查分组分配概率。总数 ${\mathrm{C}}_5^2\cdot 4!=240$；甲乙捆在一起分给四个岗位之一再排其余 3 人共 24 种，同岗 $\frac{1}{10}$，不同岗 $\frac{9}{10}$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1)求甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本事件总数：5 人分成 4 组（一组 2 人、三组各 1 人）再分配到 4 个岗位：${\mathrm{C}}_5^2\times 4!=240$。
2. (1)甲乙捆绑且占 $A$ 岗：其余 3 人全排列 $3!=6$，概率 $\frac{6}{240}$。
3. (2)甲乙同岗（任意岗位）：捆绑组选岗位 4 种 × 其余 3 人 $3!=6$，共 24，概率 $\frac{24}{240}=\frac{1}{10}$；用对立事件得不同岗概率。

✅【答案】

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(1)$\frac{1}{40}$；(2)$\frac{9}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

五名志愿者分到四个岗位且每个岗位至少一人，分组方式为 $2+1+1+1$. 基本事件总数：从 5 人中选 2 人构成二人组并分配到四个不同岗位， $N={\mathrm{C}}_5^2\times 4!=10\times 24=240.$ (1)设”甲、乙两人同时参加 $A$ 岗位服务”为事件 $M$. 甲乙二人占 $A$ 岗，其余 3 人分到 $B$、$C$、$D$ 三个岗位，有 $3!=6$ 种. $P(M)=\frac{6}{240}=\frac{1}{40}.$ (2)设”甲、乙两人不在同一个岗位服务”为事件 $N$，其对立事件 $\bar{N}$ 为”甲、乙在同一个岗位服务”. 甲乙二人同组，该组可分到 $A$、$B$、$C$、$D$ 任何一个岗位（4 种），其余 3 人分到剩下三个岗位（$3!=6$ 种），共 $4\times 6=24$ 种. $P(\bar{N})=\frac{24}{240}=\frac{1}{10},P(N)=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}.$ 故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为 $\frac{9}{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均匀分组的古典概型

核心方法：$N={\mathrm{C}}_5^2\cdot 4!=240$；$P=\frac{6}{240}=\frac{1}{40}$，$\frac{24}{240}=\frac{1}{10}$，不同岗 $\frac{9}{10}$

避坑指南：“每岗至少一人”即分组 $2+1+1+1$：先选二人组再全排列；“甲乙捆绑”处理同岗事件，其对立事件就是不同岗——正难则反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分组分配概率是概率解答题的经典模型，2009 重庆文第 8 题、2012 大纲卷文第 20 题同型。

结论推广：均匀分组计数 ${\mathrm{C}}_5^2\cdot 3!\cdot \cdots$；捆绑法处理”同组”；对立事件转化”至少/至多”。

方法推广：先算总数并说明等可能性；(2)用对立事件比直接分类快得多；最后结果务必约分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-08 单-分组概率
• 2010-大纲卷II文-09 单-分组分配计数
• 2012-大纲卷文-20 解-轮换发球概率
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率