2008-大纲卷I文-08 单-反函数

本题导读

考查反函数。$y=\frac{1}{2}\ln x+1$ 反解得 $x=e^{2y-2}$，交换变量得 $f(x)=e^{2x-2}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f(x)=$()

A. $e^{2x-2}$　　　　　B. $e^{2x}$　　　　　C. $e^{2x+1}$　　　　　D. $e^{2x+2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 关于 $y=x$ 对称即互为反函数。
2. 由 $y=\frac{1}{2}\ln x+1$ 反解 $x$：$2y-2=\ln x$。
3. $x=e^{2y-2}$，交换 $x$、$y$ 得 $f(x)$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\ln \sqrt{x}+1=\frac{1}{2}\ln x+1$，得 $\frac{1}{2}\ln x=y-1,\ln x=2y-2,x=e^{2y-2}.$ 故反函数为 $f(x)=e^{2x-2}$. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数

核心方法：$y=\frac{1}{2}\ln x+1$ 反解得 $x=e^{2y-2}$，$f(x)=e^{2x-2}$

避坑指南：关于 $y=x$ 对称即互为反函数；先化简 $\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$ 再反解；反解出的 $x$ 表达式中把 $y$ 换成 $x$ 才是 $f(x)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数是大纲卷传统考点，2009 大纲Ⅰ文第 6 题、2009 陕西文第 3 题同型。

结论推广：$y=\ln \sqrt{x}+1⟺x=e^{2(y-1)}$；反函数定义域为原函数值域。

方法推广：反解三步：化简 $\to$ 用 $y$ 表 $x$ $\to$ 交换变量；指数式与对数式互化时底数别写错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-02 单-反函数
• 2009-大纲卷I文-06 单-反函数求值
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2009-陕西卷文-03 单-反函数