2008-大纲卷I理-09 单-不等式

本题导读

本题考查奇函数的性质与单调性的综合应用。核心在于利用奇函数定义化简不等式的分子，再通过自变量的正负分类讨论求解集。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 设奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上为增函数，且 $f(1)=0$，则不等式 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 的解集为 ()

A. $(-1,0)\cup (1,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-1)\cup (0,1)$

C. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　　D. $(-1,0)\cup (0,1)$

🔍【思路分析】

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1. 利用奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 化简不等式的分子为 $2f(x)$。
2. 将不等式转化为 $\frac{f(x)}{x}<0$，即 $f(x)$ 与 $x$ 异号。
3. 分 $x>0$ 和 $x<0$ 两种情况，结合单调性和已知零点求出对应的 $x$ 范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$。 原不等式可化简为： $\frac{f(x)-[-f(x)]}{x}<0\Rightarrow \frac{2f(x)}{x}<0\Rightarrow \frac{f(x)}{x}<0$ 由此可知 $f(x)$ 与 $x$ 异号，分以下两种情况讨论：

1. 当 $x>0$ 时，必有 $f(x)<0$。 因为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上为增函数，且 $f(1)=0$， 所以当 $f(x)<0$ 时，解得 $0<x<1$。
2. 当 $x<0$ 时，必有 $f(x)>0$。 因为 $f(x)$ 是奇函数，且在 $(0,+\infty )$ 上是增函数，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上也为增函数，且 $f(-1)=-f(1)=0$。 所以当 $f(x)>0$ 时，解得 $-1<x<0$。 综上所述，不等式的解集为 $(-1,0)\cup (0,1)$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数基本性质与对称区间单调性的同向性。
2. 核心方法：符号化简与分式不等式的等价转化。
3. 避坑指南：容易误认为奇函数在对称区间上单调性相反，需牢记奇函数在对称区间上的单调性保持一致。同时注意分母 $x\ne 0$ 的限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中函数单调性与奇偶性结合的常规不等式综合习题。
2. 结论推广：若奇函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增且 $f(a)=0(a>0)$，则 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$ 的解集恒为 $(-a,0)\cup (0,a)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式