2008-大纲卷II文-04 单-奇函数图象对称

本题导读

考查奇偶性与对称性。$f(x)=\frac{1}{x}-x$ 定义域对称，$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的图象关于()

A. $y$ 轴对称　　　　　　　　　　　　　　　　B. 直线 $y=-x$ 对称

C. 坐标原点对称　　　　　　　　　　　　　　D. 直线 $y=x$ 对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义域 $x\ne 0$，关于原点对称。
2. 计算 $f(-x)=\frac{1}{-x}+x=-\left(\frac{1}{x}-x\right)=-f(x)$。
3. 奇函数图象关于原点对称。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称. $f(-x)=\frac{1}{-x}-(-x)=-\frac{1}{x}+x=-\left(\frac{1}{x}-x\right)=-f(x).$ 所以 $f(x)$ 是奇函数，其图象关于坐标原点对称. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数奇偶性与图象对称

核心方法：$f(-x)=-\frac{1}{x}+x=-f(x)$，奇函数 $\Rightarrow$ 原点对称

避坑指南：$f(x)=\frac{1}{x}-x$ 是”反比例函数减一次函数”的奇函数；奇函数图象关于原点对称、偶函数关于 $y$ 轴对称；判断前先确认定义域关于原点对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶性与对称性是函数小题主线，2009 大纲Ⅱ文第 3 题、2010 广东文第 3 题同型。

结论推广：$f(-x)=f(x)⟺$ 图象关于 $y$ 轴对称；$f(-x)=-f(x)⟺$ 关于原点对称；关于 $y=x$ 对称 $⟺$ 互为反函数。

方法推广：先查定义域，再算 $f(-x)$ 化简到 $\pm f(x)$；四个选项中出现”原点/坐标轴/直线 $y=\pm x$“时逐一对号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2010-广东卷文-03 单-指数型函数奇偶性
• 2010-江西卷文-08 单-反函数与图象对称
• 2010-天津卷文-05 单-量词命题与奇偶性