2008-大纲卷II文-19 解-射击独立事件概率

本题导读

考查独立事件。单轮甲胜概率 $p=0.1\times (0.4+0.4)+0.3\times 0.4=0.2$；三轮独立重复至少两轮胜 $={\mathrm{C}}_3^2{p}^2(1-p)+p^3=0.104$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹. 根据以往资料知，甲击中 $8$ 环，$9$ 环，$10$ 环的概率分别为 $0.6$，$0.3$，$0.1$，乙击中 $8$ 环，$9$ 环，$10$ 环的概率分别为 $0.4$，$0.4$，$0.2$. 设甲、乙的射击相互独立.

(1)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；

(2)求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. “甲多于乙”包含三个互斥事件：(甲10,乙8)、(甲10,乙9)、(甲9,乙8)。
2. 独立性：每个事件概率为两概率之积，相加得 $p$。
3. 三轮独立重复试验，至少两轮：恰好两轮 + 三轮，二项概率。

✅【答案】

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(1)$0.2$；(2)$0.104$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设”在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数”为事件 $A$. 甲多于乙包含三个互斥情形：甲 $10$ 乙 $8$、甲 $10$ 乙 $9$、甲 $9$ 乙 $8$. 由独立性， $P(A)=0.1\times 0.4+0.1\times 0.4+0.3\times 0.4=0.04+0.04+0.12=\mathrm{0.2.}$ (2)设”在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲多于乙”为事件 $B$. 由(1)知每轮甲多于乙的概率 $p=0.2$，三轮为独立重复试验. 恰好两轮甲多于乙的概率为 ${\mathrm{C}}_3^2{p}^2(1-p)=3\times 0.04\times 0.8=0.096$； 三轮甲都多于乙的概率为 $p^3=0.008$. 所以 $P(B)=0.096+0.008=\mathrm{0.104.}$ 故所求概率为 $0.104$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与独立重复试验

核心方法：$p=0.1\times 0.8+0.3\times 0.4=0.2$；$P={\mathrm{C}}_3^2{p}^2(1-p)+p^3=0.104$

避坑指南：“甲多于乙”按甲的环数分类（甲 10：乙 8 或 9；甲 9：乙 8），互斥相加、独立相乘；三轮独立重复，“至少两轮”= 恰两轮 $+$ 三轮；概率最终用小数表示。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：射击类独立事件是大纲卷概率解答题常客，2010 大纲Ⅱ文第 20 题、2009 重庆文第 17 题同型。

结论推广：$P(AB)=P(A)P(B)$；互斥和 $P(A+B)=P(A)+P(B)$；$n$ 重伯努利 $P(k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。

方法推广：分类列举时用表格（甲的环数 $\times$ 乙的环数）防漏；“至少”型转化为恰 $k$ 轮求和；结果按题目要求保留小数位数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-17 解-独立事件概率
• 2010-大纲卷II文-20 解-电路独立事件概率
• 2009-陕西卷文-18 解-独立事件概率
• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率