2008-天津卷文-18 解-独立事件投球概率

本题导读

考查独立事件概率。乙两次全不中定 $p=\frac{3}{4}$；甲至少一中用对立事件；共中两次分”各中一、甲二中、乙二中”三类相加得 $\frac{11}{32}$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$，且乙投球 $2$ 次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$.

(1)求乙投球的命中率 $p$；

(2)求甲投球 $2$ 次，至少命中 $1$ 次的概率；

(3)若甲、乙两人各投球 $2$ 次，求两人共命中 $2$ 次的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 乙两次均未命中：$(1-p{)}^2=\frac{1}{16}$，$1-p=\frac{1}{4}$，$p=\frac{3}{4}$。
2. 甲至少命中一次：对立事件是两次全不中，$1-{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
3. 共命中 $2$ 次分三类（互斥）：甲 $1$ 乙 $1$；甲 $2$ 乙 $0$；甲 $0$ 乙 $2$。分别用独立重复试验公式计算后相加。
4. 甲恰中 $1$ 次：${\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；乙恰中 $1$ 次：${\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}$；甲中 $2$：$\frac{1}{4}$；乙中 $0$：$\frac{1}{16}$；乙中 $2$：$\frac{9}{16}$。

✅【答案】

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(1)$p=\frac{3}{4}$；(2)$\frac{3}{4}$；(3)$\frac{11}{32}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由乙投球 $2$ 次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$，得 $(1-p{)}^2=\frac{1}{16}\Rightarrow 1-p=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{3}{4}.$ (2)甲投球 $2$ 次至少命中 $1$ 次的对立事件是两次均未命中，所求概率为 $1-{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$ (3)设”甲、乙两人各投球 $2$ 次，共命中 $2$ 次”，分三类互斥情形： 甲命中 $1$ 次且乙命中 $1$ 次：$\left({\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)\times \left({\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{8}=\frac{3}{16}$； 甲命中 $2$ 次且乙命中 $0$ 次：$\frac{1}{4}\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{64}$； 甲命中 $0$ 次且乙命中 $2$ 次：${\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times \frac{9}{16}=\frac{9}{64}$. 所以所求概率为 $\frac{3}{16}+\frac{1}{64}+\frac{9}{64}=\frac{12+1+9}{64}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件的概率

核心方法：$(1-p{)}^2=\frac{1}{16}$，$p=\frac{3}{4}$；至少一次 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；共中二次 $\frac{3}{16}+\frac{1}{64}+\frac{9}{64}=\frac{11}{32}$

避坑指南：“均未命中”是两次独立的对立事件乘积；“至少一次”用 $1-P(\text{全不中})$；“共命中两次”按命中人数分配拆三类互斥情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双人独立试验概率是概率解答题经典结构，2009 北京文第 17 题、2010 四川文第 17 题同型。

结论推广：独立重复试验：$P_n(k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；互斥事件概率相加。

方法推广：三类情形一个不漏：各中一、甲全中乙全不中、甲全不中乙全中；分母通分成 $64$ 再加分子。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率
• 2009-湖南卷文-17 解-独立事件概率
• 2010-四川卷文-17 解-独立事件概率