2008-天津卷理-18 解-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$，且乙投球 2 次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$.

(1) 求乙投球的命中率 $p$；

(2) 若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问利用乙两次投球相互独立，未命中概率的平方等于 $\frac{1}{16}$，解出 $p$。
2. 第二问明确 $\xi$ 的取值范围为 $\{0,1,2,3\}$。
3. 分别计算各取值下的互斥事件组合概率，列出分布列，并由期望公式求得结果。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 设事件 $A$ 为“乙投球命中”，则其对立事件 $\bar{A}$ 为“乙投球未命中”， $P(\bar{A})=1-p$。 因为乙各次投球之间相互独立，由题意得： $(1-p{)}^2=\frac{1}{16}$ 因为 $0<p<1$，所以 $1-p=\frac{1}{4}⟹p=\frac{3}{4}$。 即乙投球的命中率 $p$ 为 $\frac{3}{4}$。

(2) 由题意知，甲投球 1 次，命中次数可能为 0, 1；乙投球 2 次，命中次数可能为 0, 1, 2。 两人共命中的次数 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3。 记甲投球命中为事件 $M$， $P(M)=\frac{1}{2},P(\bar{M})=\frac{1}{2}$； 记乙单次投球命中为事件 $N$， $P(N)=\frac{3}{4},P(\bar{N})=\frac{1}{4}$。

分别计算各个随机变量取值的概率： $P(\xi =0)=P(\bar{M})\cdot {\text{C}}_2^{0}P(\bar{N}{)}^2=\frac{1}{2}\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{32}$

$P(\xi =1)=P(M)\cdot {\text{C}}_2^{0}P(\bar{N}{)}^2+P(\bar{M})\cdot {\text{C}}_2^{1}P(N)P(\bar{N})$ $=\frac{1}{2}\times \frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \left(2\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{4}\right)=\frac{1}{32}+\frac{6}{32}=\frac{7}{32}$

$P(\xi =2)=P(M)\cdot {\text{C}}_2^{1}P(N)P(\bar{N})+P(\bar{M})\cdot {\text{C}}_2^{2}P(N{)}^2$ $=\frac{1}{2}\times \frac{6}{16}+\frac{1}{2}\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{6}{32}+\frac{9}{32}=\frac{15}{32}$

$P(\xi =3)=P(M)\cdot {\text{C}}_2^{2}P(N{)}^2=\frac{1}{2}\times \frac{9}{16}=\frac{9}{32}$

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{32}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{9}{32}$

$\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=0\times \frac{1}{32}+1\times \frac{7}{32}+2\times \frac{15}{32}+3\times \frac{9}{32}=\frac{7+30+27}{32}=\frac{64}{32}=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验模型（二项分布）；离散型随机变量的分布列与数字特征。
2. 核心方法：分类讨论法，将复杂的共命中次数拆解为甲、乙各自命中次数的独立组合。
3. 避坑指南：在计算 $P(\xi =1)$ 和 $P(\xi =2)$ 时，最易漏掉其中一种组合（例如漏掉甲中乙不中的情况），应建立双变量组合表格或树状图辅助检查。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中有关相互独立事件同时发生以及多项独立试验期望的可加性应用习题。
2. 结论推广：若 $\xi =X+Y$，其中 $X\sim B(1,p_1)$， $Y\sim B(2,p_2)$，由于数学期望具有线性性质，其数学期望值可以直接通过两独立试验的期望之和求解，即 $E(\xi )=E(X)+E(Y)=p_1+2p_2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率