2008-安徽卷文-04 单-充要条件方程

本题导读

本题判断 $a<0$ 与方程 $a{x}^2+1=0$ 有一个负数根的推出关系：方程有负根等价于 $-\frac{1}{a}<0$，即 $a<0$，两面都是。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） $a<0$ 是方程 $a{x}^2+1=0$ 有一个负数根的()

A. 必要不充分条件　　　　　　　　　　B. 充分必要条件

C. 充分不必要条件　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：$a<0$ 时 $a{x}^2+1=0$ 即 $x^2=-\frac{1}{a}>0$，有两根 $\pm \sqrt{-\frac{1}{a}}$，其中一根为负。
2. 必要性：方程有负数根则 $x^2=-\frac{1}{a}>0$ 且根为负，需 $a<0$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

充分性：$a<0$ 时，方程 $a{x}^2+1=0$ 化为 $x^2=-\frac{1}{a}>0$，有两个根 $x=\pm \sqrt{-\frac{1}{a}}$，其中 $x=-\sqrt{-\frac{1}{a}}$ 是负数根，故条件充分。 必要性：若方程有一个负数根 $x_0<0$，则 $x_0^2=-\frac{1}{a}>0$，故 $a<0$，故条件必要。 所以 $a<0$ 是方程 $a{x}^2+1=0$ 有一个负数根的充分必要条件，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程的根与充要条件

核心方法：把”有负根”翻译成关于 $a$ 的不等式

避坑指南：$x^2=-\frac{1}{a}>0$ 才有两根，$a=0$ 时方程无解；充分性与必要性各证一个方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 安徽文第 4 题、2013 安徽文第 4 题同为充要条件与方程交汇。

结论推广：“方程有某类根”可化为系数的不等式，双向验证。

方法推广：含参数方程先讨论系数是否为零。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2010-浙江卷文-06 单-充要条件判定
• 2013-安徽卷文-04 单-充要条件方向