2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率

本题导读

第(1)问是有放回的独立重复试验：每人抽到带 $g$ 卡片的概率为 $\frac{3}{10}$，三人独立，概率为三次方；第(2)问是一次抽 $3$ 张的组合计数，分类”恰 $2$ 张”与”恰 $3$ 张”。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 $10$ 张卡片，每张卡片上印有一个汉字的拼音，其中恰有 $3$ 张卡片上的拼音带有后鼻音”g”.

(1)现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 $10$ 张卡片中随机抽取 $1$ 张，测试后放回，余下 $2$ 位的测试也按同样的方法进行. 求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音”g”的概率；

(2)若某位被测试者从 $10$ 张卡片中一次随机抽取 $3$ 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音”g”的卡片不少于 $2$ 张的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 有放回抽取，各次独立，每次抽到带 g 卡片概率 $\frac{3}{10}$，所求为 ${\left(\frac{3}{10}\right)}^3$。
2. (2) 一次抽 $3$ 张共有 ${\mathrm{C}}_{10}^3$ 种等可能取法，“不少于 $2$ 张”分恰 $2$ 张（${\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_7^1$）与恰 $3$ 张（${\mathrm{C}}_3^3$）两类。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$\frac{27}{1000}$；(2)$\frac{11}{60}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)每次测试中，被测试者抽到带后鼻音”g”的卡片的概率为 $\frac{3}{10}$。 因为每次抽取后放回，三位被测试者抽取的结果相互独立， 所以三人都抽到带后鼻音”g”的卡片的概率为 $\frac{3}{10}\times \frac{3}{10}\times \frac{3}{10}=\frac{27}{1000}$。 (2)设”抽出的 $3$ 张卡片中恰有 $i$ 张带后鼻音g”为事件 $A_i$（$i=2,3$）。 一次从 $10$ 张中抽 $3$ 张，共有 ${\mathrm{C}}_{10}^3$ 种等可能取法。 $P(A_2)=\frac{{\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_7^1}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{3\times 7}{120}=\frac{21}{120}$， $P(A_3)=\frac{{\mathrm{C}}_3^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{1}{120}$。 事件 $A_2$ 与 $A_3$ 互斥，故所求概率为 $P(A_2)+P(A_3)=\frac{21}{120}+\frac{1}{120}=\frac{22}{120}=\frac{11}{60}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与组合计数

核心方法：有放回用乘法公式，一次抽多张用组合数分类

避坑指南：第(1)问放回后各次独立，概率 ${\left(\frac{3}{10}\right)}^3$；第(2)问”不少于 $2$“要分恰 $2$ 与恰 $3$ 两类，别漏 ${\mathrm{C}}_3^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江西文第 18 题、2011 重庆文第 17 题同考独立重复概率。

结论推广：有放回独立 $\Rightarrow$ 概率相乘；不放回一次抽多张 $\Rightarrow$ 组合数计数。

方法推广：“至少/不少于”先分类型或用对立事件，两问结构对比记忆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率
• 2009-湖北卷文-12 填-独立事件概率
• 2010-四川卷文-17 解-独立事件概率
• 2011-重庆卷文-17 解-独立重复与非空分配