2008-安徽卷文-21 解-递推数列三问

本题导读

第(1)问用不动点：$a_{n+1}-1=c(a_n-1)$，得 $a_n=1+(a-1)c^{n-1}$；第(2)问 $b_n=\frac{n}{2^n}$ 用错位相减；第(3)问先证 $a<1$，再反证 $c>1$ 导致 $a_n\to -\infty$ 矛盾，得 $0<c⩽1$。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$，$a_{n+1}=c{a}_n+1-c$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），其中 $a$，$c$ 为实数，且 $c\ne 0$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $a=\frac{1}{2}$，$c=\frac{1}{2}$，$b_n=n(1-a_n)$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$；

(3)若 $0<a_n<1$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 成立，证明：$0<c⩽1$.

🔍【思路分析】

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1. (1) 由 $a_{n+1}-1=c(a_n-1)$，$\{a_n-1\}$ 是首项 $a-1$、公比 $c$ 的等比数列。
2. (2) 代入得 $a_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$，$b_n=\frac{n}{2^n}$，错位相减求和。
3. (3) $0<a_n<1$ 给出 $-1<(a-1)c^{n-1}<0$；先由 $n=1$ 得 $0<a<1$（从而 $a-1<0$），再反证 $c>1$：此时 $(a-1)c^{n-1}\to -\infty$，与大于 $-1$ 矛盾；若 $c<0$ 则 $c^{n-1}$ 正负交错，也与 $<0$ 矛盾。

✅【答案】

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(1)$a_n=1+(a-1)c^{n-1}$；(2)$S_n=2-\frac{n+2}{2^n}$；(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $a_{n+1}=c{a}_n+1-c$ 得 $a_{n+1}-1=c(a_n-1)$。 当 $a\ne 1$ 时，$\{a_n-1\}$ 是首项为 $a-1$、公比为 $c$ 的等比数列，故 $a_n-1=(a-1)c^{n-1}$，即 $a_n=1+(a-1)c^{n-1}$； 当 $a=1$ 时，$a_n=1=1+(a-1)c^{n-1}$，上式仍成立。 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=1+(a-1)c^{n-1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。 (2)由 $a=\frac{1}{2}$，$c=\frac{1}{2}$，得 $a_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$，于是 $b_n=n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$。 $S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}$， $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots +\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}$。 两式相减， $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n+1}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}$。 所以 $S_n=2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$。 (3)由 $0<a_n<1$ 得 $0<1+(a-1)c^{n-1}<1$，即 $-1<(a-1)c^{n-1}<0$ 对任意 $n$ 成立。 取 $n=1$，得 $-1<a-1<0$，即 $0<a<1$，从而 $a-1<0$。 若 $c<0$，则 $c^{n-1}$ 随 $n$ 的奇偶正负交替，$(a-1)c^{n-1}$（负数乘）也随之正负交替，与恒小于 $0$ 矛盾，故 $c>0$。 下证 $c⩽1$：假设 $c>1$，由 $-1<(a-1)c^{n-1}$ 得 $c^{n-1}<\frac{1}{1-a}$ 对任意 $n$ 成立。 但 $c>1$ 时 $c^{n-1}$ 随 $n$ 趋于无穷大，不能对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒小于正常数，矛盾。 所以 $0<c⩽1$，命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列的通项、求和与恒成立

核心方法：不动点构造等比；错位相减求和；反证法证 $c⩽1$

避坑指南：$a=1$ 时通项仍成立要单独说明；错位相减的差式共 $n$ 项；$c<0$ 时 $c^{n-1}$ 正负交替也与条件矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 安徽文第 21 题、2013 安徽文第 19 题同为数列递推综合。

结论推广：$a_{n+1}=c{a}_n+1-c$ 型递推以 $1$ 为不动点，构造等比数列。

方法推广：三问递进：通项、求和（错位相减）、恒成立（反证），安徽卷爱考这种完整链条。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2010-安徽卷文-21 解-圆列等比与错位相减
• 2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项
• 2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩
• 2012-浙江卷文-19 解-数列通项与错位相减