2008-山东卷文-11 单-圆与两线相切定方程

本题导读

切 $x$ 轴且圆心第一象限 $\Rightarrow$ 圆心 $(a,1)$；$\frac{|4a-3|}{5}=1\Rightarrow a=2$ 或 $-\frac{1}{2}$（舍）.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 若圆 $C$ 的半径为 $1$，圆心在第一象限，且与直线 $4x-3y=0$ 和 $x$ 轴相切，则该圆的标准方程是()

A. $(x-3{)}^2+{\left(y-\frac{7}{3}\right)}^2=1$　　　　　　　　　　　B. $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$

C. $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=1$　　　　　　　　　　　　D. ${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=1$

🔍【思路分析】

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圆心 $(a,1)$，到直线 $4x-3y=0$ 距离 $\frac{|4a-3|}{5}=1$，$a=2$（$a=-\frac{1}{2}$ 舍），方程 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $(a,b)$. 由圆与 $x$ 轴相切且圆心在第一象限得 $b=1$，圆心 $(a,1)$. 由圆与直线 $4x-3y=0$ 相切得 $\frac{|4a-3\times 1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1$，即 $|4a-3|=5$，解得 $a=2$ 或 $a=-\frac{1}{2}$. 因圆心在第一象限，$a>0$，故 $a=2$，圆的标准方程为 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=1$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线条件定圆的方程

核心方法：切 $x$ 轴定纵坐标为半径，点到直线距离等于半径定横坐标

避坑指南：$|4a-3|=5$ 有两解，负根 $$\begin{gathered} a=- \\ frac12 \end{gathered}$$ 不在第一象限须舍去；别把”与 $x$ 轴相切”误当成过原点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线定圆是直线与圆的定位题（2009 辽宁文 7、2013 江西文 14）

结论推广：推广到与两直线、一直线一圆相切的圆系问题

方法推广：距离公式+象限取舍两步走，多解时用位置条件筛选

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2010-天津卷文-14 填-圆的方程相切
• 2010-广东卷文-06 单-直线与圆相切
• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切