2008-新课标卷文-05 单-向量垂直求参

本题导读

考查向量垂直。$\lambda a+b=(4+\lambda ,-3\lambda -2)$，由 $(\lambda a+b)\cdot a=0$ 解得 $\lambda =-1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 已知平面向量 $a=(1,-3)$，$b=(4,-2)$，$\lambda a+b$ 与 $a$ 垂直，则 $\lambda =$()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-2$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 写出 $\lambda a+b$ 的坐标。
2. 用 $(\lambda a+b)\cdot a=0$ 建立方程。
3. 解出 $\lambda$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\lambda a+b=\lambda (1,-3)+(4,-2)=(4+\lambda ,-3\lambda -2).$ 由 $\lambda a+b$ 与 $a$ 垂直，得 $(\lambda a+b)\cdot a=0$，即 $(4+\lambda )\times 1+(-3\lambda -2)\times (-3)=0,$ $4+\lambda +9\lambda +6=0,10\lambda +10=0,\lambda =-1.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的条件

核心方法：$(\lambda a+b)\cdot a=0$ 得 $\lambda =-1$

避坑指南：先写出 $\lambda a+b$ 的坐标，再用数量积为零列方程；$\lambda a+b=(4+\lambda ,-3\lambda -2)$ 的第二坐标符号易错；$a$ 的坐标 $(1,-3)$ 代入时注意负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直的坐标条件是平面向量的基本功，2009 新课标Ⅰ文第 7 题同考垂直定参。

结论推广：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$；$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。

方法推广：先求组合向量的坐标再列方程；符号较多的题写一步核一步，最后代回验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2009-江西卷文-13 填-向量垂直坐标运算
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-广东卷文-16 解-向量垂直与差角