2008-新课标卷文-10 单-线性规划距离范围

本题导读

考查线性规划与距离范围。由 $4x+3y=0$ 得 $y=-\frac{4}{3}x$，$x-y=\frac{7}{3}x$，约束得 $-6⩽x⩽3$，故 $|OP|=\frac{5}{3}|x|\in [0,10]$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 点 $P(x,y)$ 在直线 $4x+3y=0$ 上，且 $x$，$y$ 满足 $-14⩽x-y⩽7$，则点 $P$ 到坐标原点距离的取值范围是()

A. $[0,5]$　　　　B. $[0,10]$　　　　C. $[5,10]$　　　　D. $[5,15]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $4x+3y=0$ 把 $y$ 用 $x$ 表示。
2. 把 $x-y$ 用 $x$ 表示，由约束条件解出 $x$ 的范围。
3. 写出 $|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$ 关于 $x$ 的表达式，求范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $4x+3y=0$ 得 $y=-\frac{4}{3}x$. 于是 $x-y=x-\left(-\frac{4}{3}x\right)=\frac{7}{3}x$. 由 $-14⩽x-y⩽7$ 得 $-14⩽\frac{7}{3}x⩽7$，解得 $-6⩽x⩽3$. 点 $P$ 到原点的距离为 $|OP|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\frac{16}{9}{x}^2}=\sqrt{\frac{25}{9}{x}^2}=\frac{5}{3}|x|.$ 当 $x\in [-6,3]$ 时，$|x|\in [0,6]$，故 $|OP|\in \left[0,10\right]$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划与点到原点的距离范围

核心方法：$y=-\frac{4}{3}x$，$x-y=\frac{7}{3}x\in [-14,7]\Rightarrow x\in [-6,3]$，$|OP|=\frac{5}{3}|x|\in [0,10]$

避坑指南：由 $4x+3y=0$ 把 $y$ 用 $x$ 表示，$x-y$ 就只含 $x$；$|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$ 化简成 $\frac{5}{3}|x|$，再由 $x$ 的范围求 $|x|$ 的范围，注意 $x$ 可取 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“直线上的点 + 不等式约束”型求距离范围，2009 陕西文第 14 题、2011 新课标Ⅰ文第 14 题同考线性规划。

结论推广：$|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$；直线条件可把一个变量用另一个表示，化为单变量求范围。

方法推广：先把直线条件代入消元，把 $|OP|$ 化成单变量表达式，再借约束求该变量的区间；端点要取到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-06 单-线性规划取值范围
• 2011-新课标卷文-14 填-线性规划
• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划
• 2009-陕西卷文-14 填-线性规划最值