2008-湖北卷文-08 单-复合函数定义域

本题导读

两个根号非负给 $[-4,1]$；$x\ne 0$；$x=1$ 时真数为 $0$ 要剔去，得 $[-4,0)\cup (0,1)$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}\ln \left(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{-x^2-3x+4}\right)$ 的定义域为()

A. $(-\infty ,-4]\cup [2,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　B. $(-4,0)\cup (0,1)$

C. $[-4,0)\cup (0,1]$　　　　　　　　　　　　　　D. $[-4,0)\cup (0,1)$

🔍【思路分析】

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$x^2-3x+2⩾0$ 且 $-x^2-3x+4⩾0$ 得 $x\in [-4,1]$；$x\ne 0$；两根号同时为零仅 $x=1$，此时 $\ln 0$ 无意义，再剔去 $x=1$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

要使式子有意义，需 $x\ne 0$，且 $x^2-3x+2⩾0$，$-x^2-3x+4⩾0$. 由 $x^2-3x+2⩾0$ 得 $x⩽1$ 或 $x⩾2$；由 $-x^2-3x+4⩾0$ 即 $x^2+3x-4⩽0$得 $-4⩽x⩽1$. 交集为 $[-4,1]$. 又对数的真数 $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{-x^2-3x+4}>0$，两根号不能同时为零：$x^2-3x+2=0$ 给 $x=1$ 或 $2$，$-x^2-3x+4=0$ 给 $x=1$ 或 $-4$，同时在定义域内的是 $x=1$，需剔去. 综上，定义域为 $[-4,0)\cup (0,1)$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型复合函数的定义域

核心方法：根号内非负、分母不为零、真数大于零三层条件取交集

避坑指南：$x=1$ 使两个根号同时为零、真数为 $0$，必须剔去；$x=0$ 由系数 $\frac{1}{x}$ 剔去；端点 $-4$ 能取到

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数与根式的复合定义域问题，比教材例题多一层”真数非零”

结论推广：多层复合函数定义域 = 各层条件解集之交；隐含条件（真数大于零）常成为剔点的关键

方法推广：定义域问题按”清单法”逐条列条件：分母、根号、对数、三角有意义，一条不漏再取交

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2008-湖北卷理-14
• 2012-湖北卷理-07 单-数列综合
• 2011-湖北卷理-06