2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程

本题导读

考查轨迹。中点 $M(x,y)$ 反代：$Q(2x-4,2y+2)$ 在圆上，得 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 点 $P(4,-2)$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 上任一点连线的中点轨迹方程是 ()

A. $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=1$　　　　　　　　　　　　B. $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4$

C. $(x+4{)}^2+(y-2{)}^2=4$　　　　　　　　　　　　D. $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆上点 $Q(x_0,y_0)$，中点 $M(x,y)$：$x=\frac{x_0+4}{2}$，$y=\frac{y_0-2}{2}$，即 $x_0=2x-4$，$y_0=2y+2$。
2. 代入 $x_0^2+y_0^2=4$：$(2x-4{)}^2+(2y+2{)}^2=4$，即 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设圆上动点为 $Q(x_0,y_0)$，$PQ$ 的中点为 $M(x,y)$。 由中点公式：$x=\frac{x_0+4}{2}$，$y=\frac{y_0+(-2)}{2}$，所以 $x_0=2x-4$，$y_0=2y+2$。 $Q$ 在圆上：$(2x-4{)}^2+(2y+2{)}^2=4$，两边除以 $4$ 得 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=1$。 轨迹是以 $(2,-1)$ 为圆心、$1$ 为半径的圆，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程（相关点法）

核心方法：中点反代圆方程

避坑指南：反代前先解出 $x_0=2x-4$、$y_0=2y+2$；除以 $4$ 后半径是 $1$ 不是 $2$，圆心 $(2,-1)$ 来自 $P$ 的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中点轨迹是相关点法的标准应用。

结论推广：$x_0=2x-x_P$，$y_0=2y-y_P$，代入原曲线。

方法推广：轨迹圆半径是原圆的一半：$4/4=1$，选项 B 的 $4$ 是没除半径的陷阱。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线
• 2011-安徽卷文-17 解-两直线相交与椭圆轨迹
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹