2009-上海卷理-17 单-方差

本题导读

本题考查平均数与方差的代数性质、中位数与众数的统计学定义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”．根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ()

A. 甲地：总体均值为 3，中位数为 4

B. 乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0

C. 丙地：中位数为 2，众数为 3

D. 丁地：总体均值为 2，总体方差为 3

🔍【思路分析】

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1. 理解数学条件：目标条件为：10 个非负整数数据中，最大值 $\max \{x_i\}\le 7$。

2. 反例排除前三项：构建符合 A、B、C 条件但最大值大于 7 的具体数列，直接排除。

3. 证明 D 项正确性：利用方差公式展开。由方差和均值的数值控制，利用反证法证明若存在数据大于或等于 8 会造成方差超界的矛盾，从而确认 D 项符合条件。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 10 天中每天新增的病例数分别为非负整数 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$。

• 对于 A：均值为 3，中位数为 4。可构造数组：$0,0,0,4,4,4,4,4,4,10$。此时均值 $\mu =30/10=3$，中位数是 4，但最大值为 $10>7$，不符合条件，排除 A；

• 对于 B：均值为 1，方差大于 0。可构造数组：$0,0,0,0,0,0,0,0,0,10$。此时均值为 1，且存在波动使得方差大于 0，但最大值为 $10>7$，不符合条件，排除 B；

• 对于 C：中位数为 2，众数为 3。可构造数组：$0,1,1,2,2,3,3,3,5,20$。中位数是 2，众数是 3，最大值为 $20>7$，排除 C；

• 对于 D：均值 $\mu =2$，方差 ${\sigma }^2=3$。 根据方差的定义式： ${\sigma }^2=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}(x_i-2{)}^2=3⟹{\sum }_{i=1}^{10}(x_i-2{)}^2=30$ 假设这 10 天中存在某一天新增病例数 $x_k\ge 8$（$x_k$ 为整数）， 则该天对应的偏差平方为： $(x_k-2{)}^2\ge (8-2{)}^2=36$ 因为对所有天数，各项 $(x_i-2{)}^2\ge 0$ 恒成立，所以： ${\sum }_{i=1}^{10}(x_i-2{)}^2\ge (x_k-2{)}^2\ge 36$ 这与已算出的平方和等于 30 发生直接冲突，故假设不成立。 因此，不可能存在任何一天的新增病例数达到 8 或以上。因为 $x_i$ 均为非负整数，故 $x_i\le 7$ 对所有天数恒成立。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：方差对数据偏离均值幅度的严格代数限制作用。

2. 核心方法：排除非正确选项用“具体反例法”；证明正确项用“反证放缩法”。

3. 避坑指南：很多学生会由于对 D 项中均值与方差的复杂平方关系感到迷茫，而在线上浪费过多时间。记住，方差反映的是数据的离散程度，当方差极小时，数据不可能偏离均值太远。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题完美融入了高等数学概率统计中“切比雪夫不等式”（Chebyshev’s Inequality）对数据界限估计的高观点思想。

2. 结论推广：在统计样本中，最大值与均值的偏离满足：$|x_i-\mu |\le \sigma \sqrt{N-1}$。本题中 $N=10,\mu =2,\sigma =\sqrt{3}$，代入可得最大可能偏离为 $|x_i-2|\le \sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}\approx 5.196⟹x_i\le 7.196$。由于 $x_i$ 是整数，所以 $x_i\le 7$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-17 解-统计表与方差最值
• 2011-山东卷理-07 单-统计综合
• 2011-江苏卷-06 填-样本方差