2009-北京卷理-08 单-抛物线

本题导读

本题考查新定义与创新题型、直线与抛物线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 点 $P$ 在直线 $l:y=x-1$ 上，若存在过 $P$ 的直线交抛物线 $y=x^2$ 于 $A,B$ 两点，且 $|PA|=|AB|$，则称点 $P$ 为 “$\mathcal{A}$ 点”，那么下列结论中正确的是 ()

A. 直线 $l$ 上的所有点都是“$\mathcal{A}$ 点”

B. 直线 $l$ 上仅有有限个点是“$\mathcal{A}$ 点”

C. 直线 $l$ 上的所有点都不是“$\mathcal{A}$ 点”

D. 直线 $l$ 上由无穷多个点（但不是所有的点）是“$\mathcal{A}$ 点”

🔍【思路分析】

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1. 理解新定义： $P,A,B$ 共线，且 $|PA|=|AB|$。在一条直线上，这意味着点 $A$ 是线段 $PB$ 的中点。
2. 设出直线 $l$ 上动点 $P(x_0,x_0-1)$ 的坐标，并设出交点 $A(x_1,x_1^2)$，根据中点公式用 $x_0,x_1$ 表示出 $B$ 点坐标。
3. 将 $B$ 点坐标代入抛物线方程 $y=x^2$，得到关于 $x_1$ 的一元二次方程。
4. “$\mathcal{A}$ 点”存在等价于该二次方程有实数解，即判别式 $\Delta ⩾0$。分析该判别式关于 $x_0$ 的式子符号。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意，点 $P$ 在直线 $l:y=x-1$ 上，设 $P(x_0,x_0-1)$。 过点 $P$ 的直线交抛物线 $y=x^2$ 于两个不同的点 $A,B$。 因为 $P,A,B$ 在同一直线上且 $|PA|=|AB|$，所以在几何位置上，点 $A$ 只能是线段 $PB$ 的中点。 设 $A(x_1,x_1^2)$， $B(x_2,y_2)$。由中点坐标公式可得： $x_1=\frac{x_0+x_2}{2}⟹x_2=2x_1-x_0$ $y_1=\frac{y_0+y_2}{2}⟹x_1^2=\frac{(x_0-1)+y_2}{2}⟹y_2=2x_1^2-x_0+1$ 因为点 $B(x_2,y_2)$ 在抛物线 $y=x^2$ 上，所以其坐标满足方程： $2x_1^2-x_0+1=(2x_1-x_0{)}^2$ 展开并整理关于 $x_1$ 的一元二次方程： $2x_1^2-x_0+1=4x_1^2-4x_0{x}_1+x_0^2$ $2x_1^2-4x_0{x}_1+(x_0^2+x_0-1)=0$ 对于确定的点 $P(x_0,y_0)$，存在这样的直线与不同的交点 $A,B$，等价于上述关于 $x_1$ 的方程有实数解，即其根的判别式满足 $\Delta >0$： $\Delta =(-4x_0{)}^2-4\times 2\times (x_0^2+x_0-1)$ $\Delta =16x_0^2-8x_0^2-8x_0+8=8x_0^2-8x_0+8=8(x_0^2-x_0+1)$ 进一步分析二次多项式 $x_0^2-x_0+1$ 的符号特征： 其判别式 ${\Delta }_{x_0}=(-1{)}^2-4\times 1\times 1=-3<0$，且二次项系数 $1>0$。 所以对任意实数 $x_0$，恒有 $x_0^2-x_0+1>0⟹\Delta >0$。 这意味着无论 $P$ 取直线 $l$ 上的什么位置（即任意 $x_0$ ），方程总有两个不同的实根 $x_1$，也就是说总是能找到符合条件的相交直线与不同的点 $A,B$。 因此，直线 $l$ 上的所有点都是“$\mathcal{A}$ 点”。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：创新定义的几何转化；点在曲线上坐标的代数关系代换；判别式恒正性的判定。
2. 核心方法：中点坐标化归法。
3. 避坑指南：容易由于新概念感到恐慌而无从下手。切记看到 $|PA|=|AB|$ 且三点共线，在坐标系里最简便的代数翻译就是“中点关系”，不要去套用复杂的两点间距离公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中经典的“弦中点轨迹与存在性范围”大题的思维下沉，经过精心新定义包装变成了极具区分度的小题。
2. 结论推广：若点 $P$ 满足存在过该点的直线被某二次曲线截得的两段长满足一定比例，其本质均可等价转化为关于交点坐标的二次方程实根存在性问题。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点