2009-四川卷文-02 单-反函数

本题导读

考查反函数。$y=2^{x+1}\Rightarrow x+1={\log }_{2}y$，反函数为 $y=-1+{\log }_{2}x$（$x>0$），选 C。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 函数 $y=2^{x+1}$（$x\in \mathbf{R}$）的反函数是 ()

A. $y=1+{\log }_{2}x$（$x>0$）　　　　　　　　　　　　B. $y={\log }_2(x-1)$（$x>1$）

C. $y=-1+{\log }_{2}x$（$x>0$）　　　　　　　　　　　　D. $y={\log }_2(x+1)$（$x>-1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=2^{x+1}>0$，两边取对数：$x+1={\log }_{2}y$。
2. 解出 $x={\log }_{2}y-1$。
3. 互换 $x,y$：$y=-1+{\log }_{2}x$，定义域 $x>0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=2^{x+1}$，得 $x+1={\log }_{2}y$，即 $x={\log }_{2}y-1$。 互换 $x,y$，反函数为 $y=-1+{\log }_{2}x$（$x>0$），故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的反函数

核心方法：$y=2^{x+1}⟺x+1={\log }_{2}y$

避坑指南：反解出 $x$ 后必须互换 $x,y$；原函数值域 $y>0$ 即反函数定义域 $x>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求反函数三步：反解、互换、注定义域。

结论推广：$2^{x+1}$ 不是 $2x+1$，指数位置看错全盘皆错。

方法推广：代入检验：$x=0$ 时 $y=2$，则反函数应满足 $x=2$ 时 $y=0$，仅 C 符合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-湖北卷文-02 单-反函数
• 2009-重庆卷文-12 填-反函数方程
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法