2009-四川卷文-12 单-抽象偶函数

本题导读

考查抽象函数。$x=-\frac{1}{2}$ 代入得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$，递推得 $f\left(\frac{5}{2}\right)=0$；$x=0$ 代入得 $f(0)=0$，故 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)=f(0)=0$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 是定义在实数集 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 $x$ 都有 $xf(x+1)=(1+x)f(x)$，则 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)$ 的值是 ()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x=-\frac{1}{2}$：$-\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)$，得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$。
2. $x=\frac{1}{2}$：$\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)=0$，得 $f\left(\frac{3}{2}\right)=0$。
3. $x=\frac{3}{2}$：同理得 $f\left(\frac{5}{2}\right)=0$。
4. $x=0$：$0=1\cdot f(0)$，得 $f(0)=0$。
5. $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)=f(0)=0$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

在 $xf(x+1)=(1+x)f(x)$ 中令 $x=-\frac{1}{2}$，得 $-\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right),$ 所以 $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$。 再令 $x=\frac{1}{2}$，得 $f\left(\frac{3}{2}\right)=0$；令 $x=\frac{3}{2}$，得 $f\left(\frac{5}{2}\right)=0$。 令 $x=0$，得 $0=f(0)$。 因此 $f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right)=f(0)=0$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数特殊值法

核心方法：取 $x=-\frac{1}{2}$ 制造 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 两侧相等

避坑指南：偶函数把 $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ 换成 $f\left(\frac{1}{2}\right)$，方程只剩一个未知量；$x=0$ 代入得 $f(0)=0$ 是收尾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数方程求值：凑使两项重合的特殊点（$x$ 与 $x+1$ 关于 $-\frac{1}{2}$ 对称）。

结论推广：链式推进：$f\left(\frac{1}{2}\right)=0\Rightarrow f\left(\frac{3}{2}\right)=0\Rightarrow f\left(\frac{5}{2}\right)=0$。

方法推广：“不恒为零”是干扰也是保证：结论只依赖函数方程与偶性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-05 单-偶函数与周期
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性